线性代数：矩阵的初等变换
1. 初等变换的定义
初等行变换：
（1）交换两行：例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)，交换第一行和第二行后得到\(\begin{bmatrix}4&5&6\\1&2&3\end{bmatrix}\)。
这种变换记作\(r_i\leftrightarrow r_j\)（这里表示第\(i\)行和第\(j\)行交换）。
（2）以数\(k\neq0\)乘某一行中的所有元素：对于上述矩阵\(A\)，若将第二行元素都乘以\(2\)，得到\(\begin{bmatrix}1&2&3\\8&10&12\end{bmatrix}\)，
记作\(kr_i\)（表示第\(i\)行乘以\(k\)）。
（3）把某一行所有元素的\(k\)倍加到另一行对应的元素上去：对于矩阵\(A\)，将第一行的\(3\)倍加到第二行，
得到\(\begin{bmatrix}1&2&3\\3\times1 + 4&3\times2+5&3\times3 + 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2&3\\7&11&15\end{bmatrix}\)，
记作\(r_j + kr_i\)（表示第\(j\)行加上第\(i\)行的\(k\)倍）。
初等列变换：
与初等行变换类似，只是操作对象是列。交换两列记作\(c_i\leftrightarrow c_j\)；以数\(k\neq0\)乘某一列中的所有元素记作\(kc_i\)；把某一列所有元素的\(k\)倍加到另一列对应的元素上去记作\(c_j + kc_i\)。
2. 初等变换的性质
等价性：如果矩阵\(A\)经过有限次初等变换变成矩阵\(B\)，则称矩阵\(A\)与\(B\)等价，记作\(A\sim B\)。矩阵的等价具有反身性（\(A\sim A\)）、对称性（若\(A\sim B\)，则\(B\sim A\)）和传递性（若\(A\sim B\)，\(B\sim C\)，则\(A\sim C\)）。
不改变矩阵的秩：矩阵经过初等变换后，其秩不变。例如，一个秩为\(2\)的矩阵，无论进行多少次初等变换，得到的新矩阵秩依然是\(2\)。
可逆性与初等矩阵的关系：对矩阵\(A\)进行一次初等行（列）变换，相当于在\(A\)的左边（右边）乘以一个相应的初等矩阵。
例如，设\(E_{ij}\)是交换单位矩阵\(I\)的第\(i\)行和第\(j\)行得到的初等矩阵，那么对矩阵\(A\)交换第\(i\)行和第\(j\)行，就相当于\(E_{ij}A\)；设\(E_i(k)\)是单位矩阵\(I\)的第\(i\)行乘以\(k\)得到的初等矩阵，那么将矩阵\(A\)的第\(i\)行乘以\(k\)，就相当于\(E_i(k)A\)；设\(E_{ij}(k)\)是单位矩阵\(I\)的第\(j\)行加上第\(i\)行的\(k\)倍得到的初等矩阵，那么将矩阵\(A\)的第\(j\)行加上第\(i\)行的\(k\)倍，就相当于\(E_{ij}(k)A\)。
3. 初等变换的应用
求矩阵的秩：通过初等行变换将矩阵化为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是原矩阵的秩。
例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\end{bmatrix}\)，进行初等行变换\(r_2-2r_1\)，\(r_3 - 3r_1\)得到\(\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}\)，可以看出其秩为\(1\)。
求逆矩阵：对于可逆矩阵\(A\)，可以将\((A|I)\)（\(A\)和单位矩阵\(I\)并排放在一起形成的增广矩阵）通过初等行变换化为\((I|A^{-1})\)的形式，从而求出\(A\)的逆矩阵。
例如，对于矩阵\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，构造增广矩阵\(\begin{bmatrix}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{bmatrix}\)，经过初等行变换\(r_2-3r_1\)，\(\frac{1}{-2}r_2\)，\(r_1 - 2r_2\)得到\(\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\)，所以\(A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\)。
解线性方程组：对于线性方程组\(Ax = b\)，可以将其增广矩阵\((A|b)\)通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，然后求解。
例如，对于方程组\(\begin{cases}x_1 + 2x_2 = 3\\3x_1 + 4x_2 = 5\end{cases}\)，增广矩阵为\(\begin{bmatrix}1&2&3\\3&4&5\end{bmatrix}\)，经过初等行变换后求解，过程与求逆矩阵中的变换类似，最终得到方程组的解。
