线性代数：方阵
1. 方阵的定义
方阵是行数和列数相等的矩阵。如果一个矩阵\(A\)有\(n\)行和\(n\)列，我们称\(A\)为\(n\)阶方阵，记作\(A_{n\times n}\)。
例如，\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)是一个\(3\)阶方阵，其中元素\(a_{ij}\)（\(i = 1,2,3\)；\(j = 1,2,3\)）表示位于第\(i\)行第\(j\)列的数。
2. 方阵的运算特性
加法和减法：两个\(n\)阶方阵\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)相加（减）得到的方阵\(C=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=a_{ij}\pm b_{ij}\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，则\(A + B=\begin{bmatrix}1 + 5&2+6\\3+7&4 + 8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}\)。
加法满足交换律\(A + B = B + A\)和结合律\((A + B)+C = A+(B + C)\)。
数乘运算：数\(k\)与\(n\)阶方阵\(A=(a_{ij})\)相乘得到的方阵\(kA=(ka_{ij})\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(k = 3\)，则\(3A=\begin{bmatrix}3\times1&3\times2\\3\times3&3\times4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&6\\9&12\end{bmatrix}\)。
数乘运算满足结合律\(k(lA)=(kl)A\)和分配律\(k(A + B)=kA + kB\)。
乘法运算：\(n\)阶方阵\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)相乘得到的方阵\(C = AB=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=\sum_{k = 1}^{n}a_{ik}b_{kj}\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，则\(AB=\begin{bmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}\)。
方阵乘法满足结合律\((AB)C = A(BC)\)，但一般不满足交换律，即\(AB\)不一定等于\(BA\)。
例如，设\(A=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\)，则\(AB=\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}\)，\(BA=\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}\)，\(AB\neq BA\)。
3. 方阵的特殊运算
幂运算：对于\(n\)阶方阵\(A\)，\(A\)的幂定义为\(A^k=\underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{k个}\)（\(k\)为正整数）。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\)，则\(A^2=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}\)。幂运算满足\((A^m)^n=A^{mn}\)（\(m,n\)为正整数）。
行列式运算：\(n\)阶方阵\(A\)的行列式\(\vert A\vert\)是一个标量，它具有很多重要的性质。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，则\(\vert A\vert=ad - bc\)。行列式在判断方阵是否可逆等方面有重要作用，\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充分必要条件是\(\vert A\vert\neq0\)。
伴随矩阵运算：\(n\)阶方阵\(A\)的伴随矩阵\(adj(A)\)与\(A\)的行列式和逆矩阵密切相关。\(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=\vert A\vert I\)（\(I\)是\(n\)阶单位矩阵），并且当\(\vert A\vert\neq0\)时，\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)\)。
4. 方阵的特征值与特征向量
定义：设\(A\)是\(n\)阶方阵，如果存在数\(\lambda\)和非零\(n\)维向量\(x\)，使得\(Ax=\lambda x\)，那么\(\lambda\)称为方阵\(A\)的特征值，\(x\)称为\(A\)对应于特征值\(\lambda\)的特征向量。
例如，对于方阵\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)，设特征值为\(\lambda\)，特征向量为\(\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)，则\(\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\lambda\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}\)，通过求解这个方程可以得到特征值和特征向量。特征值和特征向量在矩阵对角化等问题中有重要应用。
特征多项式：\(n\)阶方阵\(A\)的特征多项式定义为\(f(\lambda)=\vert\lambda I - A\vert\)，其中\(I\)是\(n\)阶单位矩阵。特征值就是特征多项式的根。
例如，对于上述方阵\(A=\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}\)，\(\lambda I - A=\begin{bmatrix}\lambda - 2&-1\\-1&\lambda - 2\end{bmatrix}\)，特征多项式\(f(\lambda)=\vert\lambda I - A\vert=(\lambda - 2)^2 - 1=\lambda^2 - 4\lambda + 3\)，其根\(\lambda_1 = 1\)，\(\lambda_2 = 3\)就是\(A\)的特征值。
