线性代数：逆矩阵

1. 逆矩阵的定义

对于方阵\(A\)，如果存在一个方阵\(B\)，使得\(AB = BA=I\)（\(I\)为单位矩阵），那么称\(B\)是\(A\)的逆矩阵，记为\(A^{-1}=B\)。

例如，对于\(2\times2\)矩阵\(A = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\)，若其逆矩阵\(A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}\frac{d}{ad - bc}&\frac{-b}{ad - bc}\\\frac{-c}{ad - bc}&\frac{a}{ad - bc}\end{array}\right]\)（前提是\(ad - bc\neq0\)），此时

\(AA^{-1}=A^{-1}A = I\)。

2. 逆矩阵存在的条件

一个方阵\(A\)可逆的充分必要条件是它的行列式\(\vert A\vert\neq0\)。

例如，对于矩阵\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，其行列式\(\vert A\vert=1\times4 - 2\times3=-2\neq0\)，所以\(A\)可逆。

而对于矩阵\(B=\left[\begin{array}{cc}1&1\\2&2\end{array}\right]\)，\(\vert B\vert=1\times2 - 1\times2 = 0\)，所以\(B\)不可逆。

3. 求逆矩阵的方法

伴随矩阵法：对于\(n\)阶方阵\(A\)，其逆矩阵\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}\text{adj}(A)\)，其中\(\text{adj}(A)\)是\(A\)的伴随矩阵。伴随矩阵\(\text{adj}(A)\)的元素\((\text{adj}(A))_{ij}=(- 1)^{i + j}M_{ji}\)，\(M_{ji}\)是\(A\)中元素\(a_{ji}\)的余子式。

例如，对于\(2\times2\)矩阵\(A=\left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right]\)，其伴随矩阵\(\text{adj}(A)=\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]\)，当\(\vert A\vert=ad - bc\neq0\)时，\(A^{-1}=\frac{1}{ad - bc}\left[\begin{array}{cc}d&-b\\-c&a\end{array}\right]\)。

初等行变换法：将矩阵\(A\)和单位矩阵\(I\)组成一个增广矩阵\([A|I]\)，然后对其进行初等行变换，当\(A\)变成单位矩阵\(I\)时，原来\(I\)的位置就变成了\(A^{-1}\)。

例如，设\(A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，构造增广矩阵\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\3&4&0&1\end{array}\right]\)。

通过初等行变换，第二行减去第一行的\(3\)倍得到\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&-2&-3&1\end{array}\right]\)，再将第二行乘以\(-\frac{1}{2}\)得到\(\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]\)，然后第一行减去第二行的\(2\)倍得到\(\left[\begin{array}{cc|cc}-1&0&-2&1\\0&1&\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]\)，所以\(A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{array}\right]\)。