1. 矩阵加法

设\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)是两个\(m\times n\)矩阵，那么它们的和\(C = A + B\)也是一个\(m\times n\)矩阵，其中\(C\)的元素\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}\)，\(i = 1,2,\cdots,m\)，\(j = 1,2,\cdots,n\)。

若\(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{ll}5&6\\7&8\end{array}\right]\)，则\(A + B=\left[\begin{array}{ll}1 + 5&2+6\\3 + 7&4 + 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}6&8\\10&12\end{array}\right]\)。

交换律：\(A + B=B + A\)。

结合律：\((A + B)+C = A+(B + C)\)。

存在零矩阵\(O\)，使得\(A+O = A\)，其中\(O\)是与\(A\)同型的零矩阵。

2. 矩阵减法

设\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)是两个\(m\times n\)矩阵，那么\(A - B\)定义为\(A+(-B)\)，其中\(-B\)是\(B\)的负矩阵，其元素为\(-b_{ij}\)。即\((A - B)_{ij}=a_{ij}-b_{ij}\)。

若\(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{ll}5&6\\7&8\end{array}\right]\)，则\(A - B=\left[\begin{array}{ll}1-5&2 - 6\\3-7&4 - 8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}-4&-4\\-4&-4\end{array}\right]\)。

3. 矩阵数乘

设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times n\)矩阵，\(k\)是一个数，那么数乘矩阵\(kA\)是一个\(m\times n\)矩阵，其元素为\((kA)_{ij}=k\times a_{ij}\)。

若\(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(k = 3\)，则\(kA=\left[\begin{array}{ll}3\times1&3\times2\\3\times3&3\times4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}3&6\\9&12\end{array}\right]\)。

结合律：\(k(lA)=(kl)A\)。

分配律：\((k + l)A=kA + lA\)，\(k(A + B)=kA + kB\)。

4. 矩阵乘法

设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times p\)矩阵，\(B=(b_{ij})\)是一个\(p\times n\)矩阵，那么矩阵\(A\)与\(B\)的乘积\(AB\)是一个\(m\times n\)矩阵\(C=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}\)，\(i = 1,2,\cdots,m\)，\(j = 1,2,\cdots,n\)。

若\(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{ll}5&6\\7&8\end{array}\right]\)，则\(AB=\left[\begin{array}{ll}1\times5+2\times7&1\times6 + 2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}19&22\\43&50\end{array}\right]\)。

结合律：\((AB)C = A(BC)\)。

分配律：\(A(B + C)=AB + AC\)，\((B + C)A=BA + CA\)。

对于单位矩阵\(I\)，若\(A\)是\(m\times n\)矩阵，则\(AI_{n}=A\)，\(I_{m}A = A\)。

注意矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下\(AB\neq BA\)。

例如，\(A=\left[\begin{array}{ll}0&1\\0&0\end{array}\right]\)，\(B=\left[\begin{array}{ll}1&0\\0&0\end{array}\right]\)，\(AB=\left[\begin{array}{ll}0&0\\0&0\end{array}\right]\)，\(BA=\left[\begin{array}{ll}0&1\\0&0\end{array}\right]\)。

5. 矩阵的转置

设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times n\)矩阵，那么\(A\)的转置矩阵\(A^{T}\)是一个\(n\times m\)矩阵，其中\((A^{T})_{ij}=a_{ji}\)，\(i = 1,2,\cdots,n\)，\(j = 1,2,\cdots,m\)。

若\(A=\left[\begin{array}{ll}1&2\\3&4\end{array}\right]\)，则\(A^{T}=\left[\begin{array}{ll}1&3\\2&4\end{array}\right]\)。

\((A^{T})^{T}=A\)。

\((A + B)^{T}=A^{T}+B^{T}\)。

\((kA)^{T}=kA^{T}\)。

\((AB)^{T}=B^{T}A^{T}\)。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科