线性代数：克拉默法则

1. 克拉默法则

对于含有\(n\)个未知数\(x_1,x_2,\cdots,x_n\)的线性方程组\(\begin{cases}a_{11}x_1 + a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1 + a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n = b_2\\\cdots\\a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n = b_n\end{cases}\)，如果其系数行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0\)。

那么方程组有唯一解，且解为\(x_j=\frac{D_j}{D}(j = 1,2,\cdots,n)\)，其中\(D_j\)是将系数行列式\(D\)中的第\(j\)列元素用方程组右端的常数项\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)替换后得到的行列式。

2. 克拉默法则的证明思路

首先，我们可以将线性方程组写成矩阵形式\(Ax = b\)，其中\(A=(a_{ij})\)是\(n\)阶系数矩阵，\(x=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^T\)是未知数向量，\(b=(b_1,b_2,\cdots,b_n)^T\)是常数项向量。

当\(D\neq0\)时，根据可逆矩阵的定义，\(A\)可逆。此时\(x = A^{-1}b\)。又因为\(A^{-1}=\frac{1}{D}adj(A)\)，那么\(x_j\)的值可以通过\(A^{-1}b\)的第\(j\)个分量来表示，经过推导可以得到\(x_j=\frac{D_j}{D}\)。

3. 克拉默法则的应用示例

例如，对于线性方程组\(\begin{cases}2x_1 + 3x_2=8\\4x_1 - x_2 = 6\end{cases}\)，首先计算系数行列式\(D=\begin{vmatrix}2&3\\4&-1\end{vmatrix}=2\times(-1)-3\times4=-14\neq0\)。

然后求\(D_1\)，将\(D\)中的第一列用常数项\(\begin{bmatrix}8\\6\end{bmatrix}\)替换，得到\(D_1=\begin{vmatrix}8&3\\6&-1\end{vmatrix}=8\times(-1)-3\times6=-26\)。

求\(D_2\)，将\(D\)中的第二列用常数项替换，得到\(D_2=\begin{vmatrix}2&8\\4&6\end{vmatrix}=2\times6 - 8\times4=-20\)。

根据克拉默法则，\(x_1=\frac{D_1}{D}=\frac{-26}{-14}=\frac{13}{7}\)，\(x_2=\frac{D_2}{D}=\frac{-20}{-14}=\frac{10}{7}\)。