1. 伴随矩阵的定义

设\(A = (a_{ij})\)是\(n\)阶方阵，\(A_{ij}\)是\(a_{ij}\)的代数余子式，那么\(A\)的伴随矩阵\(adj(A)\)定义为\(n\)阶方阵\(B=(b_{ij})\)，其中\(b_{ij}=A_{ji}\)（注意这里是\(A_{ji}\)，行列下标交换）。

例如，对于二阶方阵\(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\)，\(a\)的代数余子式\(A_{11}=d\)，\(b\)的代数余子式\(A_{12}=-c\)，\(c\)的代数余子式\(A_{21}=-b\)，\(d\)的代数余子式\(A_{22}=a\)，所以\(A\)的伴随矩阵\(adj(A)=\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\)。

2. 伴随矩阵的性质

性质一：\(A\cdot adj(A)=adj(A)\cdot A=\vert A\vert I\)

其中\(I\)是单位矩阵。对于\(n\)阶方阵\(A\)，根据行列式按行（列）展开定理，以\(n = 3\)为例，设\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\)，则\(A\cdot adj(A)=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix}A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&A_{22}&A_{32}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{bmatrix}\)。

计算可得\((A\cdot adj(A))_{11}=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A_{13}=\vert A\vert\)（这是按第一行展开行列式\(\vert A\vert\)），同理可得其他元素，最终结果为\(\vert A\vert I\)。同样可以证明\(adj(A)\cdot A=\vert A\vert I\)。

性质二：若\(A\)可逆，则\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)\)

因为\(A\cdot adj(A)=\vert A\vert I\)，当\(\vert A\vert\neq0\)时，两边同时除以\(\vert A\vert\)，得到\(A\cdot\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)=I\)，根据逆矩阵的定义，可知\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)\)。

性质三：\(\vert adj(A)\vert=\vert A\vert^{n - 1}\)

当\(A\)可逆时，由\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)\)可得\(\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert^n}\vert adj(A)\vert\)，又因为\(\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}\)，所以\(\vert adj(A)\vert=\vert A\vert^{n - 1}\)。当\(A\)不可逆，即\(\vert A\vert = 0\)时，\(rank(adj(A))\leq1\)（\(rank\)表示矩阵的秩），此时\(\vert adj(A)\vert = 0\)，也满足\(\vert adj(A)\vert=\vert A\vert^{n - 1}\)。

3. 伴随矩阵的应用

求逆矩阵：在求方阵\(A\)的逆矩阵时，如果\(\vert A\vert\neq0\)，可以利用伴随矩阵来求，即\(A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}adj(A)\)。例如，对于三阶方阵\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\0&1&4\\0&0&1\end{bmatrix}\)，先求其行列式\(\vert A\vert = 1\)，再求其伴随矩阵（通过求代数余子式等步骤），最后根据公式得到\(A^{-1}\)。

解线性方程组：对于线性方程组\(AX = B\)，当\(A\)可逆时，\(X = A^{-1}B\)，而\(A^{-1}\)可由伴随矩阵求出，所以可以利用伴随矩阵来求解线性方程组。

线性代数：研究向量空间、线性变换、矩阵、行列式等线性结构及其性质的数学学科