线性代数：矩阵
1. 矩阵的定义
矩阵是一个由\(m\times n\)个数\(a_{ij}(i = 1,2,\cdots,m;j = 1,2,\cdots,n)\)排成的\(m\)行\(n\)列的矩形数表，记作
\(A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{bmatrix}\)，其中\(a_{ij}\)称为矩阵\(A\)的\((i,j)\)元。
例如，\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)是一个\(2\times3\)的矩阵，其中\(a_{12}=2\)，\(a_{23}=6\)。
2. 特殊矩阵
零矩阵：所有元素都为\(0\)的矩阵称为零矩阵，记作\(O\)。例如，\(\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}\)是一个\(2\times3\)的零矩阵。
方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵，即\(m = n\)时，\(A\)是\(n\)阶方阵。
例如，\(\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}\)是一个\(3\)阶方阵。
对角矩阵：除主对角线（从左上角到右下角的对角线）元素外，其余元素都为\(0\)的方阵称为对角矩阵。
例如，\(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{bmatrix}\)是一个对角矩阵。
单位矩阵：主对角线元素都为\(1\)，其余元素都为\(0\)的方阵称为单位矩阵，记作\(I\)或\(E\)。
例如，\(3\)阶单位矩阵\(I=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)。
3. 矩阵的运算
加法：设\(A=(a_{ij})\)和\(B=(b_{ij})\)是两个\(m\times n\)矩阵，它们的和\(C = A + B=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}(i = 1,2,\cdots,m;j = 1,2,\cdots,n)\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，则\(A + B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}\)。
数乘：设\(k\)是一个数，\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times n\)矩阵，数乘矩阵\(kA=(ka_{ij})\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(k = 3\)，则\(3A=\begin{bmatrix}3\times1&3\times2\\3\times3&3\times4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&6\\9&12\end{bmatrix}\)。
乘法：设\(A=(a_{ij})\)是一个\(m\times p\)矩阵，\(B=(b_{ij})\)是一个\(p\times n\)矩阵，那么\(AB\)是一个\(m\times n\)矩阵\(C=(c_{ij})\)，其中\(c_{ij}=\sum_{k = 1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i = 1,2,\cdots,m;j = 1,2,\cdots,n)\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，\(B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}\)，则\(AB=\begin{bmatrix}1\times5+2\times7&1\times6+2\times8\\3\times5+4\times7&3\times6+4\times8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}19&22\\43&50\end{bmatrix}\)。
需要注意的是，矩阵乘法一般不满足交换律，即\(AB\)不一定等于\(BA\)。
4. 矩阵的转置
设\(A=(a_{ij})\)是\(m\times n\)矩阵，将\(A\)的行换成同序数的列得到的新矩阵称为\(A\)的转置矩阵，记作\(A^T\)。
例如，若\(A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}\)，则\(A^T=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}\)。
转置矩阵满足\((A + B)^T=A^T + B^T\)，\((kA)^T=kA^T\)，\((AB)^T=B^TA^T\)等性质。
5. 逆矩阵
对于\(n\)阶方阵\(A\)，如果存在\(n\)阶方阵\(B\)，使得\(AB = BA = I\)，则称\(A\)是可逆的，\(B\)是\(A\)的逆矩阵，记作\(A^{-1}=B\)。
例如，对于\(2\)阶方阵\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，其逆矩阵\(A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{bmatrix}\)，可以验证\(AA^{-1}=A^{-1}A = I\)。
不是所有方阵都可逆，\(n\)阶方阵\(A\)可逆的充要条件是\(\vert A\vert\neq0\)，其中\(\vert A\vert\)是\(A\)的行列式。
