函数 03 函数图象的的相关问题-定性分析法

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1. 单调性的定性分析

函数的单调性是指函数在定义域的某个区间上是递增还是递减。

如果对于区间\(I\)内的任意两个自变量\(x_{1}\)、\(x_{2}\)：

当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})<f(x_{2})\)，那么函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是增函数；

当\(x_{1}<x_{2}\)时，都有\(f(x_{1})>f(x_{2})\)，则函数\(y = f(x)\)在区间\(I\)上是减函数。

分析方法：

对于一次函数\(y = kx + b\)（\(k\neq0\)）

当\(k>0\)时，函数在\(R\)上单调递增；

当\(k<0\)时，函数在\(R\)上单调递减。

例如\(y = 3x - 1\)，因为\(k = 3>0\)，所以它在整个实数域上是单调递增的。

对于二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)）

当\(a>0\)时，对称轴为\(x =-\frac{b}{2a}\)，在区间\((-\infty,-\frac{b}{2a})\)上单调递减，在区间\((-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递增；

当\(a<0\)时，在区间\((-\infty,-\frac{b}{2a})\)上单调递增，在区间\((-\frac{b}{2a},+\infty)\)上单调递减。

例如\(y = x^{2}-2x\)，其中\(a = 1\)，\(b=-2\)，对称轴为\(x = 1\)，所以在\((-\infty,1)\)上单调递减，在\((1,+\infty)\)上单调递增。

2. 奇偶性的定性分析

设函数\(y = f(x)\)的定义域\(D\)关于原点对称，如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(-x)=f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)是偶函数，其图象关于\(y\)轴对称；

如果对于任意\(x\in D\)，都有\(f(-x)=-f(x)\)，那么函数\(y = f(x)\)是奇函数，其图象关于原点对称。

分析方法：

对于函数\(y = x^{2}\)，\(f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)\)，所以它是偶函数。从图象上看，它是一个开口向上的抛物线，关于\(y\)轴对称。

对于函数\(y = x^{3}\)，\(f(-x)=(-x)^{3}=-x^{3}=-f(x)\)，所以它是奇函数。其图象是一个经过原点的曲线，关于原点对称。

3. 周期性的定性分析

对于函数\(y = f(x)\)，如果存在一个非零常数\(T\)，使得当\(x\)取定义域内的每一个值时，\(f(x + T)=f(x)\)都成立，那么就把函数\(y = f(x)\)叫做周期函数，非零常数\(T\)叫做这个函数的一个周期。

分析方法：

对于函数\(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)，它们的周期是\(2\pi\)。因为\(\sin(x + 2\pi)=\sin x\)，\(\cos(x + 2\pi)=\cos x\)。从图象上看，正弦函数和余弦函数的图象是呈周期性波动的，每隔\(2\pi\)的距离，图象就会重复出现。

对于函数\(y = A\tan(\omega x+\varphi)\)，其周期为\(T=\frac{\pi}{\omega}\)。例如\(y=\tan2x\)，周期\(T = \frac{\pi}{2}\)。