\(n\)元一次不定方程：\(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}x_{i}=b\)
1. \(n\)元一次不定方程的定义
\(n\)元一次不定方程的一般形式为\(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b\)，即：\(\sum_{i = 1}^{n}a_{i}x_{i}=b\)
其中\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n},b\)是整数，\(n\geqslant2\)，且\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)不全为\(0\)。
例如，三元一次不定方程\(2x + 3y - 4z = 5\)。
2. \(n\)元一次不定方程有解的条件
根据裴蜀定理的推广形式，\(n\)元一次不定方程\(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b\)有整数解的充分必要条件是
\((a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\mid b\)，这里\((a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\)表示\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)的最大公因数。
例如，对于方程\(6x + 9y + 15z = 3\)，因为\((6,9,15)=3\)，且\(3\mid3\)，所以该方程有整数解。
3. \(n\)元一次不定方程的求解方法
逐步消元法
对于\(n\)元一次不定方程，可以通过逐步消去变量，将其转化为\((n - 1)\)元一次不定方程来求解。
例如，对于三元一次不定方程\(2x + 3y - 4z = 5\)，可以先将其变形为\(2x + 3y=5 + 4z\)，对于给定的\(z\)值，\(2x + 3y=5 + 4z\)就变成了一个二元一次不定方程。
设\(z = t\)（\(t\)为整数），则\(2x + 3y=5 + 4t\)，通过求解这个二元一次不定方程（假设得到通解为\(x = x_{0}+3k\)，\(y = y_{0}-2k\)，其中\(k\)为整数），再将\(x\)和\(y\)的表达式代入原方程，就可以得到关于\(t\)和\(k\)的关系，从而得到原三元一次不定方程的通解。
利用矩阵变换（对于学过线性代数的情况）
可以将\(n\)元一次不定方程写成矩阵形式\(Ax = b\)，其中\(A=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n})\)是系数矩阵，\(x=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})^T\)是未知数向量，\(b\)是常数项。通过对增广矩阵\((A|b)\)进行初等行变换，将其化为行最简形矩阵，然后根据行最简形矩阵来求解方程。不过这种方法相对复杂，需要一定的线性代数知识。
4. \(n\)元一次不定方程的实际应用
资源分配问题（多元情况）：假设有\(n\)种不同的资源，第一种资源每个单位有\(a_{1}\)的价值，第二种资源每个单位有\(a_{2}\)的价值，以此类推。现在要分配这些资源，使得总价值达到\(b\)，设每种资源分配的数量为\(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\)，就可以建立\(n\)元一次不定方程\(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots+a_{n}x_{n}=b\)来求解分配方案。
组合问题（多元）：有\(n\)种不同的物品，要选取一定数量的这些物品，使得满足某种条件。例如，有三种物品，第一种物品每个重\(a_{1}\)克，第二种物品每个重\(a_{2}\)克，第三种物品每个重\(a_{3}\)克，要组合出总重为\(b\)克的物品组合，设三种物品选取的数量分别为\(x_{1},x_{2},x_{3}\)，可建立方程\(a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}=b\)来寻找可能的组合。
