同余：\(a\equiv b(\bmod m)\)
一、同余的定义
设\(m\)是一个正整数，若整数\(a\)和\(b\)除以\(m\)的余数相同，则称\(a\)和\(b\)对模\(m\)同余，记作\(a\equiv b(\bmod m)\)。
例如，\(10\div3 = 3\cdots\cdots1\)，\(13\div3 = 4\cdots\cdots1\)，所以\(10\equiv13(\bmod 3)\)。
从数学表达式来说，\(a\equiv b(\bmod m)\)等价于\(m\mid(a - b)\)，即\(a - b\)能被\(m\)整除。
例如，因为\(15-3 = 12\)，\(4\mid12\)，所以\(15\equiv3(\bmod 4)\)。
二、同余的性质
1、反身性：\(a\equiv a(\bmod m)\)。
因为\(a - a = 0\)，\(m\mid0\)，所以任何整数与自身对模\(m\)同余。
2、对称性：若\(a\equiv b(\bmod m)\)，则\(b\equiv a(\bmod m)\)。
因为\(a\equiv b(\bmod m)\)意味着\(m\mid(a - b)\)，那么\(m\mid(b - a)\)，所以\(b\equiv a(\bmod m)\)。
3、传递性：若\(a\equiv b(\bmod m)\)且\(b\equiv c(\bmod m)\)，则\(a\equiv c(\bmod m)\)。
由于\(m\mid(a - b)\)且\(m\mid(b - c)\)，所以\(a - b = km\)，\(b - c = lm\)（\(k\)、\(l\)为整数），
那么\(a - c=(a - b)+(b - c)=(k + l)m\)，即\(m\mid(a - c)\)，所以\(a\equiv c(\bmod m)\)。
4、可加性：若\(a\equiv b(\bmod m)\)，\(c\equiv d(\bmod m)\)，则\(a + c\equiv b + d(\bmod m)\)。
因为\(a - b = k_{1}m\)，\(c - d = k_{2}m\)（\(k_{1}\)、\(k_{2}\)为整数），
那么\((a + c)-(b + d)=(a - b)+(c - d)=(k_{1}+k_{2})m\)，所以\(a + c\equiv b + d(\bmod m)\)。
5、可减性：若\(a\equiv b(\bmod m)\)，\(c\equiv d(\bmod m)\)，则\(a - c\equiv b - d(\bmod m)\)。
证明过程与加法类似，\((a - c)-(b - d)=(a - b)-(c - d)=(k_{1}-k_{2})m\)（\(k_{1}\)、\(k_{2}\)为整数），
所以\(a - c\equiv b - d(\bmod m)\)。
6、可积性：若\(a\equiv b(\bmod m)\)，\(c\equiv d(\bmod m)\)，则\(ac\equiv bd(\bmod m)\)。
因为\(a = b + k_{1}m\)，\(c = d + k_{2}m\)（\(k_{1}\)、\(k_{2}\)为整数），
\(ac=(b + k_{1}m)(d + k_{2}m)=bd + bk_{2}m + dk_{1}m + k_{1}k_{2}m^{2}=bd+(bk_{2}+dk_{1}+k_{1}k_{2}m)m\)，所以
\(ac\equiv bd(\bmod m)\)。
三、同余的乘法性质
1. 同余乘法性质
若\(a\equiv b(\bmod m)\)，\(c\equiv d(\bmod m)\)，那么\(ac\equiv bd(\bmod m)\)。
例如，已知\(3\equiv8(\bmod 5)\)，\(4\equiv9(\bmod 5)\)，则\(3\times4\equiv8\times9(\bmod 5)\)，即\(12\equiv72(\bmod 5)\)，进一步计算可得\(12\div5 = 2\cdots\cdots2\)，\(72\div5 = 14\cdots\cdots2\)，余数相同，验证了该性质。
2. 证明过程
因为\(a\equiv b(\bmod m)\)，根据同余的定义，可得\(a = b + km\)（\(k\)为整数）。
同理，因为\(c\equiv d(\bmod m)\)，所以\(c = d + lm\)（\(l\)为整数）。
那么\(ac=(b + km)(d + lm)=bd + blm + dkm+klm^{2}\)。
整理可得\(ac - bd=(bl + dk + klm)m\)，这表明\(m\mid(ac - bd)\)。
根据同余的定义，所以\(ac\equiv bd(\bmod m)\)。
3. 同余乘法性质的推广
若\(a\equiv b(\bmod m)\)，则\(a^{n}\equiv b^{n}(\bmod m)\)（\(n\)为正整数）。
证明可以使用数学归纳法。当\(n = 1\)时，显然成立。假设当\(n = k\)（\(k\geqslant1\)）时，\(a^{k}\equiv b^{k}(\bmod m)\)成立。
当\(n = k + 1\)时，因为\(a\equiv b(\bmod m)\)，\(a^{k}\equiv b^{k}(\bmod m)\)，根据同余乘法性质，可得\(a^{k + 1}\equiv b^{k + 1}(\bmod m)\)。
例如，已知\(2\equiv7(\bmod 5)\)，则\(2^{3}\equiv7^{3}(\bmod 5)\)，即\(8\equiv343(\bmod 5)\)，计算可得\(8\div5 = 1\cdots\cdots3\)，\(343\div5 = 68\cdots\cdots3\)，余数相同，验证了该推广性质。
4. 同余乘法性质的应用场景
简化计算余数：例如，计算\(37^{100}\)除以\(10\)的余数。因为\(37\equiv7(\bmod 10)\)，所以\(37^{100}\equiv7^{100}(\bmod 10)\)。通过观察\(7\)的幂次除以\(10\)的余数规律（\(7^{1}\equiv7(\bmod 10)\)，\(7^{2}\equiv9(\bmod 10)\)，\(7^{3}\equiv3(\bmod 10)\)，\(7^{4}\equiv1(\bmod 10)\)），可以发现周期为\(4\)，\(100\div4 = 25\)，所以\(7^{100}\equiv1(\bmod 10)\)，即\(37^{100}\)除以\(10\)的余数为\(1\)。
密码学中的应用：在一些密码算法（如RSA算法）的计算过程中，同余乘法性质被用于加密和解密操作中的模幂运算，以保证信息的安全性和准确性。
四、同余的除法性质
1. 同余除法性质
若\(ac\equiv bc(\bmod m)\)，且\((c,m)=d\)（\((c,m)\)表示\(c\)和\(m\)的最大公因数），那么\(a\equiv b(\bmod\frac{m}{d})\)。
例如，若\(6x\equiv9x(\bmod15)\)，因为\((3,15) = 3\)，所以可以得出\(2\equiv3(\bmod5)\)。
2. 证明过程
已知\(ac\equiv bc(\bmod m)\)，根据同余的定义，这意味着\(m\mid(ac - bc)\)，即\(m\mid c(a - b)\)。
设\(c = k_1d\)，\(m = k_2d\)（其中\((c,m)=d\)，所以\(k_1\)和\(k_2\)互质）。
因为\(m\mid c(a - b)\)，所以\(k_2d\mid k_1d(a - b)\)，两边同时除以\(d\)，得到\(k_2\mid k_1(a - b)\)。
由于\(k_1\)和\(k_2\)互质，根据整除的性质，可得\(k_2\mid(a - b)\)，也就是\(\frac{m}{d}\mid(a - b)\)。
根据同余的定义，这就证明了\(a\equiv b(\bmod\frac{m}{d})\)。
3. 特殊情况：当\((c,m)=1\)时
若\(ac\equiv bc(\bmod m)\)且\((c,m)=1\)，那么\(a\equiv b(\bmod m)\)。
例如，\(3x\equiv6x(\bmod7)\)，因为\((3,7)=1\)，所以可以直接得出\(x\equiv2x(\bmod7)\)，进而可以通过其他运算求出\(x\)的同余类。
4. 应用示例
求解同余方程\(12x\equiv24(\bmod30)\)。
首先，\((12,30)=6\)，两边同时除以\(6\)，得到\(2x\equiv4(\bmod5)\)。
因为\((2,5)=1\)，所以\(x\equiv2(\bmod5)\)，这意味着\(x = 5k + 2\)（\(k\)为整数）是原同余方程\(12x\equiv24(\bmod30)\)的解。
五、剩余系和完全剩余系
设\(m\)是一个正整数，对于任意整数\(a\)，\(a\)除以\(m\)的余数\(r\)满足\(0\leq r\lt m\)，所有余数构成的集合\(\{0,1,\cdots,m - 1\}\)称为模\(m\)的一个完全剩余系。例如，模\(3\)的完全剩余系是\(\{0,1,2\}\)。
从模\(m\)的完全剩余系中各取一个数组成的集合称为模\(m\)的一个剩余系。例如，\(\{3,4,5\}\)是模\(3\)的一个剩余系，因为\(3\div3\)的余数是\(0\)，\(4\div3\)的余数是\(1\)，\(5\div3\)的余数是\(2\)。
六、同余方程
1. 同余方程定义
同余方程是指形如\(ax\equiv b(\bmod m)\)的方程，其中\(a\)、\(b\)、\(m\)是给定的整数，\(m>0\)，\(x\)是未知数。
例如，\(3x\equiv2(\bmod5)\)就是一个同余方程，它表示\(3x\)和\(2\)在模\(5\)的意义下同余，即\(3x\)和\(2\)除以\(5\)的余数相同。
2. 同余方程解的存在性及个数
存在性判断：同余方程\(ax\equiv b(\bmod m)\)有解的充分必要条件是\((a,m)\mid b\)，其中\((a,m)\)表示\(a\)和\(m\)的最大公因数。
例如，对于方程\(4x\equiv2(\bmod6)\)，因为\((4,6)=2\)，且\(2\mid2\)，所以该方程有解。
解的个数：若同余方程\(ax\equiv b(\bmod m)\)有解，且\((a,m)=d\)，那么它在模\(m\)下有\(d\)个不同的解。
例如，对于方程\(6x\equiv3(\bmod9)\)，\((6,9)=3\)，该方程有\(3\)个不同的解（在模\(9\)下）。
3. 同余方程求解方法
方法一：穷举法（适用于\(m\)较小的情况）
例如，对于同余方程\(3x\equiv1(\bmod5)\)，因为\(x\)是模\(5\)的同余类，所以\(x\)可能的值为\(0,1,2,3,4\)。分别代入验证：
当\(x = 0\)时，\(3\times0 = 0\)，\(0\div5\)的余数为\(0\)，不符合。
当\(x = 1\)时，\(3\times1 = 3\)，\(3\div5\)的余数为\(3\)，不符合。
当\(x = 2\)时，\(3\times2 = 6\)，\(6\div5\)的余数为\(1\)，符合，所以\(x = 2\)是一个解。
方法二：利用同余的性质（当\((a,m)=1\)时）
对于方程\(3x\equiv1(\bmod5)\)，因为\((3,5)=1\)，根据同余乘法性质，找到\(3\)关于模\(5\)的逆元。因为\(3\times2 = 6\equiv1(\bmod5)\)，所以\(2\)是\(3\)关于模\(5\)的逆元。两边同时乘以\(2\)，得到\(x\equiv2\times1\equiv2(\bmod5)\)，所以\(x = 5k + 2\)（\(k\)为整数）是方程的解。
方法三：先化简再求解（当\((a,m)>1\)时）
对于方程\(6x\equiv3(\bmod9)\)，因为\((6,9)=3\)，且\(3\mid3\)，方程有解。两边同时除以\(3\)，得到\(2x\equiv1(\bmod3)\)。因为\((2,3)=1\)，且\(2\times2 = 4\equiv1(\bmod3)\)，所以\(x\equiv2(\bmod3)\)。原方程是模\(9\)的同余方程，在模\(9\)下的解为\(x = 3k + 2\)（\(k = 0,1,2\)），即\(x = 2,5,8\)。
4. 线性同余方程组（中国剩余定理）
定义：由多个同余方程组成的方程组，如\(\begin{cases}x\equiv a_1(\bmod m_1)\\x\equiv a_2(\bmod m_2)\end{cases}\)（\(m_1\)与\(m_2\)互质）。例如\(\begin{cases}x\equiv2(\bmod3)\\x\equiv3(\bmod5)\end{cases}\)。
求解方法（中国剩余定理）：设\(M = m_1\times m_2\)，\(M_1=\frac{M}{m_1}\)，\(M_2=\frac{M}{m_2}\)，分别求出\(M_1\)关于模\(m_1\)的逆元\(y_1\)和\(M_2\)关于模\(m_2\)的逆元\(y_2\)。则方程组的解为\(x\equiv a_1M_1y_1 + a_2M_2y_2(\bmod M)\)。对于上述例子，\(M = 3\times5 = 15\)，\(M_1 = 5\)，\(M_2 = 3\)。\(5\)关于模\(3\)的逆元\(y_1 = 2\)，\(3\)关于模\(5\)的逆元\(y_2 = 2\)。则\(x\equiv2\times5\times2+3\times3\times2\equiv20 + 18\equiv8(\bmod15)\)。
5. 同余方程应用场景
密码学：同余方程在密码学中的RSA算法等中有重要应用。例如，在RSA算法的加密和解密过程中，涉及到求解同余方程来确定加密密钥和解密密钥。
数论问题：用于解决如求整数的幂次在模某个数下的余数等问题。例如，计算\(2^{100}\)除以\(7\)的余数，可以通过将指数\(100\)进行适当分解，转化为同余方程来求解。
计算机科学中的哈希函数：某些哈希函数的设计会用到同余方程，用于将数据均匀地分布在一个固定大小的哈希表中，提高数据存储和查找的效率。
七、同余的应用
1. 判断整除性
例题1：判断\(2345\)能否被\(7\)整除。
解答：因为\(2345 = 2100+245\)，\(2100\div7 = 300\)，\(245 = 210 + 35\)，\(210\div7 = 30\)，\(35\div7 = 5\)。所以\(2345\equiv0(\bmod7)\)，能被\(7\)整除。
例题2：判断\(123456\)能否被\(11\)整除。
解答：根据能被\(11\)整除的数的特征（奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被\(11\)整除），\((1 + 3 + 5)-(2 + 4 + 6)= -3\)，\(-3\equiv8(\bmod11)\)，所以\(123456\)不能被\(11\)整除。
2. 求余数
例题3：求\(3456\)除以\(9\)的余数。
解答：因为一个数除以\(9\)的余数等于它各位数字之和除以\(9\)的余数，\(3 + 4+5 + 6 = 18\)，\(18\div9 = 2\cdots\cdots0\)，所以\(3456\equiv0(\bmod9)\)，余数为\(0\)。
例题4：求\(7^{100}\)除以\(13\)的余数。
解答：因为\(7^{2}=49\equiv10(\bmod13)\)，\(7^{4}=(7^{2})^{2}\equiv10^{2}=100\equiv9(\bmod13)\)，\(7^{8}=(7^{4})^{2}\equiv9^{2}=81\equiv3(\bmod13)\)，\(7^{16}=(7^{8})^{2}\equiv3^{2}=9(\bmod13)\)，\(7^{32}=(7^{16})^{2}\equiv9^{2}=81\equiv3(\bmod13)\)，\(7^{64}=(7^{32})^{2}\equiv3^{2}=9(\bmod13)\)，\(7^{100}=7^{64}\times7^{32}\times7^{4}\)，根据同余乘法性质，\(7^{100}\equiv9\times3\times9 = 243\equiv1(\bmod13)\)，余数为\(1\)。
3. 日历问题
例题5：如果今天是星期一，问从今天起再过\(100\)天是星期几？
解答：因为一周有\(7\)天，设星期几为模\(7\)的同余类，星期一为\(1\)，再过\(100\)天，\(1 + 100\equiv1 + 2 = 3(\bmod7)\)，所以是星期三。
例题6：已知某一年的国庆节是星期二，问这一年的元旦是星期几？
解答：从元旦到国庆，1月有\(31\)天，2月（非闰年\(28\)天，闰年\(29\)天），3月\(31\)天，4月\(31\)天，5月\(31\)天，6月\(30\)天，7月\(31\)天，8月\(31\)天，9月\(30\)天。总天数非闰年为\(31 + 28+31 + 30+31 + 30+31 + 31+30 = 274\)天，\(274\div7 = 39\cdots\cdots1\)，设元旦为\(x\)，\(x + 1\equiv2(\bmod7)\)，得\(x\equiv1(\bmod7)\)，是星期一；闰年总天数为\(275\)天，\(275\div7 = 39\cdots\cdots2\)，\(x + 2\equiv2(\bmod7)\)，得\(x\equiv0(\bmod7)\)，是星期日。
4. 数字规律问题
例题7：有一列数\(1,3,4,7,11,18,\cdots\)，规律是从第三项起每一项是前两项之和，问这列数中的第\(2024\)项除以\(5\)的余数是多少？
解答：先写出这列数除以\(5\)的余数数列：\(1,3,4,2,1,3,4,2,\cdots\)，发现周期为\(4\)，\(2024\div4 = 506\)，所以第\(2024\)项除以\(5\)的余数是\(2\)。
例题8：求\(1\times2\times3\times\cdots\times100\)除以\(11\)的余数。
解答：因为\(11\)是质数，根据威尔逊定理，\((p - 1)!\equiv - 1(\bmod p)\)（\(p\)为质数），这里\(p = 11\)，所以\(10!\equiv - 1(\bmod11)\)，\(1\times2\times3\times\cdots\times100=(1\times2\times\cdots\times10)^{10}\)，\((1\times2\times\cdots\times10)\equiv10!\equiv - 1(\bmod11)\)，\(( - 1)^{10}\equiv1(\bmod11)\)，余数为\(1\)。
5. 同余方程应用
例题9：求解同余方程\(3x\equiv9(\bmod12)\)。
解答：因为\((3,12)=3\)，两边同时除以\(3\)，得到\(x\equiv3(\bmod4)\)，所以\(x = 4k + 3\)（\(k\)为整数）是方程的解。
例题10：求解同余方程\(5x\equiv10(\bmod15)\)。
解答：\((5,15)=5\)，两边同时除以\(5\)得\(x\equiv2(\bmod3)\)，所以\(x = 3k + 2\)（\(k\)为整数）是方程的解。
6. 棋子摆放问题
例题11：在一个圆形棋盘上摆放棋子，按顺时针方向每隔\(3\)个位置放一个黑棋子，每隔\(4\)个位置放一个白棋子。如果棋盘上共有\(100\)个位置，问哪些位置会同时摆放黑棋子和白棋子？
解答：设位置编号为\(n\)，\(0\leq n\leq99\)。黑棋子位置满足\(n\equiv0(\bmod3)\)，白棋子位置满足\(n\equiv0(\bmod4)\)，同时满足的位置就是\(3\)和\(4\)的最小公倍数对应的同余类，\([3,4]=12\)，所以\(n\equiv0(\bmod12)\)，即位置为\(0,12,24,\cdots,84,96\)。
例题12：有一个长方形棋盘，横向有\(m\)个格子，纵向有\(n\)个格子（\(m,n\)为正整数）。从左上角开始，按对角线方向每隔\(a\)个格子放一个棋子，问最后一个棋子放在什么位置？
解答：设棋子的位置坐标为\((x,y)\)，先考虑模\(m\)和模\(n\)的同余关系，根据棋子的放置规律建立同余方程，然后通过求解同余方程来确定\((x,y)\)的位置，具体答案取决于\(m,n,a\)的具体数值。
7. 密码学简单应用（加密原理示意）
例题13：假设一种简单加密方法，将明文数字\(x\)加密为\(y\equiv3x + 5(\bmod26)\)（\(x,y\)表示字母在字母表中的位置，\(A = 0,B = 1,\cdots,Z = 25\)），加密后的数字\(y\)为密文。若明文是“HELLO”，求密文。
解答：\(H\)对应\(7\)，\(y\equiv3\times7 + 5 = 26\equiv0(\bmod26)\)；\(E\)对应\(4\)，\(y\equiv3\times4 + 5 = 17\)；\(L\)对应\(11\)，\(y\equiv3\times11+5 = 38\equiv12(\bmod26)\)；\(L\)对应\(11\)，\(y\equiv3\times11 + 5 = 38\equiv12(\bmod26)\)；\(O\)对应\(14\)，\(y\equiv3\times14+5 = 47\equiv21(\bmod26)\)，密文是“AFMMLV”。
例题14：对于上述加密方法，若收到密文“QJKX”，求明文。
解答：设明文对应的数字为\(x\)，对于\(Q\)（对应\(16\)），则\(16\equiv3x + 5(\bmod26)\)，移项得\(3x\equiv11(\bmod26)\)，通过求解同余方程得\(x\equiv7(\bmod26)\)，对应字母\(H\)；同理对\(J\)（对应\(9\)），\(9\equiv3x + 5(\bmod26)\)，解得\(x\equiv8(\bmod26)\)，对应字母\(I\)；对\(K\)（对应\(10\)），\(10\equiv3x + 5(\bmod26)\)，解得\(x\equiv17(\bmod26)\)，对应字母\(R\)；对\(X\)（对应\(23\)），\(23\equiv3x + 5(\bmod26)\)，解得\(x\equiv6(\bmod26)\)，对应字母\(G\)，明文是“HIRG”。
8. 商品分配问题
例题15：有\(n\)个苹果要平均分给\(m\)个小朋友，最后剩下\(r\)个苹果，已知\(n\equiv r(\bmod m)\)，如果\(m = 7\)，\(r = 3\)，问\(n\)可能是多少？
解答：\(n\equiv3(\bmod7)\)，所以\(n = 7k + 3\)（\(k\)为整数），\(n\)可能是\(3,10,17,\cdots\)。
例题16：有一批货物，每\(8\)件装一箱余\(5\)件，每\(10\)件装一箱余\(7\)件，问这批货物最少有多少件？
解答：设货物有\(x\)件，根据题意\(x\equiv5(\bmod8)\)，\(x\equiv7(\bmod10)\)。对于\(x\equiv5(\bmod8)\)，\(x = 8a + 5\)，代入\(x\equiv7(\bmod10)\)得\(8a + 5\equiv7(\bmod10)\)，\(8a\equiv2(\bmod10)\)，\(4a\equiv1(\bmod5)\)，解得\(a\equiv4(\bmod5)\)，\(a = 5b + 4\)，所以\(x = 8(5b + 4)+5 = 40b + 37\)，当\(b = 0\)时，\(x\)最小为\(37\)件。
9. 数字组合问题
例题17：从\(1\)到\(100\)中选取数字，使得选取的数字之和除以\(9\)的余数为\(5\)，问最少选取几个数字？
解答：考虑数字除以\(9\)的余数，\(1\equiv1(\bmod9)\)，\(2\equiv2(\bmod9)\)，\(\cdots\)，\(9\equiv0(\bmod9)\)。要使余数为\(5\)，最少选取\(5\)个数字，如\(1,2,3,4,5\)，它们的和为\(15\)，\(15\equiv6(\bmod9)\)；选取\(1,2,3,4,9\)，它们的和为\(19\)，\(19\equiv1(\bmod9)\)；选取\(1,2,3,8,9\)，它们的和为\(23\)，\(23\equiv5(\bmod9)\)，最少选取\(5\)个数字。
例题18：用\(0\)到\(9\)这十个数字组成一个五位数\(abcde\)，要求\(abcde\equiv7(\bmod11)\)，问这样的五位数有多少个？
解答：根据能被\(11\)整除的数的特征（奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被\(11\)整除），设\(S_1=a + c + e\)，\(S_2 = b + d\)，\(S_1 - S_2\equiv7(\bmod11)\)或\(S_2 - S_1\equiv7(\bmod11)\)。然后分情况讨论，通过排列组合计算每种情况下满足条件的五位数的个数，最后相加得到总数。
10. 数列周期问题（基于同余判断周期）
例题19：数列\(\{a_n\}\)满足\(a_{n + 1}\equiv3a_n + 1(\bmod7)\)，\(a_1 = 1\)，问该数列的周期是多少？
解答：计算\(a_1 = 1\)，\(a_2\equiv3\times1 + 1 = 4(\bmod7)\)，\(a_3\equiv3\times4 + 1 = 13\equiv6(\bmod7)\)，\(a_4\equiv3\times6 + 1 = 19\equiv5(\bmod7)\)，\(a_5\equiv3\times5 + 1 = 16\equiv2(\bmod7)\)，\(a_6\equiv3\times2 + 1 = 7\equiv0(\bmod7)\)，\(a_7\equiv3\times0 + 1 = 1(\bmod7)\)，所以周期为\(6\)。
例题20：有一个数列\(\{b_n\}\)，\(b_n\)是\(n\)除以\(4\)的余数，问数列\(\{b_n\}\)的周期是多少？
解答：\(n = 1\)时，\(b_1 = 1\div4\)的余数为\(1\)；\(n = 2\)时，\(b_2 = 2\div4\)的余数为\(2\)；\(n = 3\)时，\(b_3 = 3\div4\)的余数为\(3\)；\(n = 4\)时，\(b_4 = 4\div4\)的余数为\(0\)；\(n = 5\)时，\(b_5 = 5\div4\)的余数为\(1\)，所以周期为\(4\)。
