实数的连分数表示
连分数的定义
1. 简单连分数的基本定义
简单连分数是一种特殊的分数形式。它是将一个数表示为一个整数与一个分数之和，这个分数的分母又是一个整数与一个分数之和，如此层层嵌套。
有限简单连分数可以表示为\(a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{\cdots+\frac{1}{a_{n}}}}}\)，
其中\(a_{0}\)是整数，\(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\)是正整数。
为了书写方便，通常简记为\([a_{0};a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}]\)。
例如，\([2;3,4]\)表示的实际运算为\(2+\frac{1}{3+\frac{1}{4}}\)。先计算最内层的分数\(\frac{1}{4}\)，然后得到\(3+\frac{1}{4}=\frac{13}{4}\)，再计算\(\frac{1}{ \frac{13}{4}}=\frac{4}{13}\)，最后\(2+\frac{4}{13}=\frac{30}{13}\)。
无限简单连分数的形式为\(a_{0}+\frac{1}{a_{1}+\frac{1}{a_{2}+\frac{1}{a_{3}+\cdots}}}\)，
简记为\([a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots]\)。
2. 广义连分数的定义
广义连分数的形式更为复杂，它可以表示为\(b_{0}+\frac{a_{1}}{b_{1}+\frac{a_{2}}{b_{2}+\frac{a_{3}}{b_{3}+\cdots}}}\)，
其中\(a_{n}\)和\(b_{n}\)是数列，并且对于\(n\geq1\)，\(b_{n}\neq0\)。
简单连分数是广义连分数在\(a_{n} = 1\)且\(b_{0}\)为整数、\(b_{n}\)为正整数（\(n\geq1\)）时的特殊情况。
3. 与数列的关系理解连分数定义
可以把连分数看作是由两个数列\(\left\{a_{n}\right\}\)和\(\left\{b_{n}\right\}\)（在简单连分数中\(b_{n}\)有特殊规定）确定的一种表达式。通过不断地按照连分数的形式进行运算，每一步的计算结果都依赖于数列中的元素。例如在简单连分数中，从最内层的分数\(\frac{1}{a_{n}}\)开始，逐步向外计算，每一层的计算结果都作为下一层分数的一部分，就像一个递归的运算过程，最终得到一个确定的数值（对于有限连分数）或者趋近于一个数值（对于无限连分数）。
实数的简单连分数展开方法
有理数的连分数展开：
对于有理数\(\frac{p}{q}\)（\(p,q\)为整数，\(q\neq0\)），可以通过辗转相除法来得到连分数展开。
例如，对于\(\frac{7}{3}\)，\(7\div3 = 2\cdots1\)，此时\(a_0 = 2\)，余数\(1\)作为新的分子，\(3\)作为分母，得到\(\frac{1}{3}\)，\(3\div1 = 3\cdots0\)，此时\(a_1 = 3\)，因为余数为\(0\)，所以展开结束。那么\(\frac{7}{3}\)的连分数表示为\(2+\frac{1}{3}\)。
无理数的连分数展开：
以\(\sqrt{2}\)为例
设\(x = \sqrt{2}\)，\(x = 1+(\sqrt{2}-1)\)，\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1\)，所以\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{2 + (\sqrt{2}-1)}\)，继续这个过程可以得到\(\sqrt{2}\)的连分数展开为\([1;2,2,2,\cdots]\)，其中\([a_0;a_1,a_2,\cdots]\)是连分数的一种表示方法，这里\(a_0 = 1\)，后面的\(a_1,a_2,\cdots\)都是\(2\)。
连分数的性质
1、表示形式与有理数、无理数的对应关系
有理数的连分数表示：任何有理数都可以表示为有限简单连分数，且在没有尾随的\(1\)时，表示方法唯一.
无理数的连分数表示：任何无理数都可以唯一地表示为无限简单连分数.
2、渐进分数的性质
递推关系：设连分数\([a_0;a_1,a_2,\cdots]\)的渐进分数为\(\frac{p_n}{q_n}\)，则有递推公式\(p_{-1}=1\)，\(q_{-1}=0\)，\(p_0=a_0\)，\(q_0 = 1\)，\(p_k=a_kp_{k - 1}+p_{k - 2}\)，\(q_k=a_kq_{k - 1}+q_{k - 2}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）.
误差估计：渐进分数与实数之间的误差可以估计为\(\left|\alpha-\frac{p_k}{q_k}\right|\leq\frac{1}{q_kq_{k + 1}}\)，其中\(\alpha\)为连分数所表示的实数，\(\frac{p_k}{q_k}\)为其第\(k\)个渐进分数.
最佳逼近性：由连分数得到的渐进分数，是在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，最接近精确值的近似值。即对于给定的无理数\(x\)，如果\(\frac{p}{q}\)是其连分数展开的一个渐进分数，那么对于所有分母\(q'\leq q\)的有理数\(\frac{p'}{q'}\)，有\(\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\left|x - \frac{p'}{q'}\right|\).
单调性：渐进分数列的奇数项小于原值，偶数项大于原值.
3、完全商的性质
\(a_n=\left[\alpha_n\right]\)，一般地，\(\alpha_n=a_n+\frac{1}{\alpha_{n + 1}}\).
4、循环连分数的性质
一个连分数为循环连分数，则此数是某个有理系数的二次不可约多项式的根；反之，二次无理数的连分数表示是循环的.
5、其他性质
唯一性：无理数展成连分数时表法唯一 。有理数展成连分数时，除了\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)和\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_{n - 1},a_n - 1,1]\)（当\(a_n>1\)时）这两种表示形式等价外，其他情况下有理数的连分数表示是唯一的.
收敛性：每一个无限简单连分数都收敛于一个实数.
有限简单连分数
1. 有限简单连分数的定义
有限简单连分数是一种形如\(a_0+\dfrac{1}{a_1+\dfrac{1}{a_2+\dfrac{1}{\cdots+\dfrac{1}{a_n}}}}\)的表达式，
其中\(a_0\in\mathbb{Z}\)，\(a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{N}\)。
通常简记为\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)。例如，\([2;3,4]\)表示\(2+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{4}}\)。
2. 有限简单连分数的计算方法
从最底层的分数开始逐步计算。
以\([2;3,4]\)为例
先计算\(\dfrac{1}{4} = 0.25\)，然后\(3+\dfrac{1}{4}=3.25\)，再计算\(\dfrac{1}{3.25}\approx0.3077\)，最后\(2 + 0.3077=2.3077\)。
3. 有限简单连分数与有理数的关系
有理数的连分数表示：任何有理数都可以表示为有限简单连分数。
例如，对于分数\(\dfrac{7}{3}\)，用辗转相除法来得到连分数展开。
\(7\div3 = 2\cdots1\)，此时\(a_0 = 2\)，余数\(1\)作为新的分子，\(3\)作为分母，得到\(\dfrac{1}{3}\)，\(3\div1 = 3\cdots0\)，此时\(a_1 = 3\)，因为余数为\(0\)，所以展开结束。那么\(\dfrac{7}{3}\)的连分数表示为\([2;3]\)。
连分数还原为有理数：给定一个有限简单连分数\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)，可以通过上述逐步计算的方法或者利用公式\(\dfrac{p_n}{q_n}=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)，其中\(p_n\)和\(q_n\)可以通过递推公式\(p_{ - 1}=1\)，\(q_{ - 1}=0\)，\(p_0=a_0\)，\(q_0 = 1\)，\(p_k=a_kp_{k - 1}+p_{k - 2}\)，\(q_k=a_kq_{k - 1}+q_{k - 2}\)（\(k = 1,2,\cdots,n\)）来计算出对应的有理数。
4. 有限简单连分数的性质
唯一性（除了特殊情况）：有理数的有限简单连分数表示在一定条件下是唯一的。除了\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)和\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_{n - 1},a_n - 1,1]\)（当\(a_n>1\)时）这两种表示形式等价外，其他情况下有理数的连分数表示是唯一的。例如，\([2;3]\)和\([2;2,1]\)表示的是同一个有理数\(\dfrac{7}{3}\)。
渐进分数性质：有限简单连分数的渐进分数是对其表示的有理数的一系列有理逼近。设连分数\([a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)的渐进分数为\(\dfrac{p_0}{q_0},\dfrac{p_1}{q_1},\cdots,\dfrac{p_n}{q_n}\)，这些渐进分数在分母逐渐增大的过程中，会越来越接近连分数所表示的有理数，并且相邻渐进分数之间满足一定的递推关系和不等式性质，如\(\left|\dfrac{p_k}{q_k}-\dfrac{p_{k - 1}}{q_{k - 1}}\right|\)随着\(k\)的增大而逐渐减小等。
无限简单连分数
1. 无限简单连分数的定义
无限简单连分数是一种形如\(a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}}\)的表达式，
其中\(a_0\in\mathbb{Z}\)，\(a_1,a_2,a_3,\cdots\in\mathbb{N}\)。
通常简记为\([a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]\)。它是有限简单连分数的延伸，其展开项是无限的。
例如，黄金分割比\(\varphi\)可以表示为无限简单连分数\([1;1,1,1,\cdots]\)。
2. 无限简单连分数的收敛性
渐进分数序列：对于无限简单连分数\([a_0;a_1,a_2,a_3,\cdots]\)，可以定义它的渐进分数序列。
设\(C_n = [a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]\)（\(n = 0,1,2,\cdots\)）为其前\(n + 1\)项构成的有限简单连分数，这些\(C_n\)就构成了渐进分数序列。例如，对于\(\varphi = [1;1,1,\cdots]\)，其渐进分数序列为\(C_0 = 1\)，\(C_1 = 1+\frac{1}{1}=2\)，\(C_2 = 1+\frac{1}{1+\frac{1}{1}}=\frac{3}{2}\)等。
收敛定理：每一个无限简单连分数都收敛于一个实数。即渐进分数序列\(\{C_n\}\)收敛，且极限值是一个确定的实数。这个实数可以看作是无限简单连分数所代表的值。例如，上面提到的黄金分割比的渐进分数序列收敛于\(\varphi=\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\)。
3. 无限简单连分数与无理数的关系
无理数的连分数表示：任何无理数都可以唯一地表示为无限简单连分数。
例如，\(\sqrt{2}\)的连分数展开为\([1;2,2,2,\cdots]\)。其推导过程如下：
设\(x = \sqrt{2}\)，\(x = 1+(\sqrt{2}-1)\)，\(\frac{1}{\sqrt{2}-1}=\frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}=\sqrt{2}+1\)，所以\(\sqrt{2}=1+\frac{1}{2 + (\sqrt{2}-1)}\)，不断重复这个过程就得到其无限简单连分数形式。
用连分数逼近无理数：无限简单连分数的渐进分数为无理数提供了很好的有理逼近。这些渐进分数会越来越接近所表示的无理数。
例如，对于\(\pi\)，它的连分数展开可以用于生成一系列对\(\pi\)的有理逼近，这些逼近在计算和理论研究中有重要作用。
4. 无限简单连分数的性质
周期性：部分无理数的连分数展开具有周期性。
例如，二次无理数（形如\(a + b\sqrt{d}\)，其中\(a,b\in\mathbb{Q}\)，\(d\in\mathbb{N}\)且\(d\)不是完全平方数）的连分数展开是周期的。如\(\sqrt{3}\)的连分数展开为\([1;1,2,1,2,\cdots]\)，周期为\(1,2\)。
最佳逼近性：无限简单连分数的渐进分数是对该无理数的最佳有理逼近。
即对于给定的无理数\(x\)，如果\(\frac{p}{q}\)是其连分数展开的一个渐进分数，那么对于所有分母\(q'\leq q\)的有理数\(\frac{p'}{q'}\)，有\(\left|x-\frac{p}{q}\right|\leq\left|x - \frac{p'}{q'}\right|\)，这种性质在数论和数值计算中有广泛的应用。
