最小公倍数：\([a,b]\)

一、最小公倍数的定义

对于两个整数\(a\)、\(b\)，它们的最小公倍数\([a,b]\)是指能同时被\(a\)、\(b\)整除的最小正整数。

例如，\([4,6]=12\)，因为\(12\)是既能被\(4\)整除又能被\(6\)整除的最小正整数，\(4\)的倍数有\(4\)、\(8\)、\(12\)、\(16\cdots\)，\(6\)的倍数有\(6\)、\(12\)、\(18\cdots\)。

二、求最小公倍数的方法

1、列举倍数法

分别列出\(a\)、\(b\)的倍数序列，然后从中找出最小的公共倍数。例如求\([6,8]\)：

\(6\)的倍数：\(6\)、\(12\)、\(18\)、\(24\)、\(30\cdots\)

\(8\)的倍数：\(8\)、\(16\)、\(24\)、\(32\cdots\)

所以\([6,8]=24\)。但这种方法对于较大的数效率较低。

2、分解质因数法

将\(a\)、\(b\)分别分解质因数，写成标准的质因数乘积形式，如

\(a = p_1^{k_1}p_2^{k_2}\cdots p_m^{k_m}\)，\(b = q_1^{l_1}q_2^{l_2}\cdots q_n^{l_n}\)（\(p_i\)、\(q_j\)为质数，\(k_i\)、\(l_j\)为正整数）。

最小公倍数就是取所有出现过的质因数，并取它们在\(a\)、\(b\)中次数较高的那一个对应的次数相乘。

例如，求\([12,18]\)：

\(12 = 2^2\times3\)

\(18 = 2\times3^2\)

质因数有\(2\)和\(3\)，\(2\)的次数在\(12\)中较高为\(2\)次，\(3\)的次数在\(18\)中较高为\(2\)次，所以\([12,18]=2^2\times3^2 = 36\)。

3、利用最大公因数求法

先求出\(a\)、\(b\)的最大公因数\((a,b)\)，再根据公式\([a,b]=\frac{ab}{(a,b)}\)来计算最小公倍数。

例如，已知\((24,36)=12\)，则\([24,36]=\frac{24\times36}{12}=72\)。

三、最小公倍数的性质

1、最小性：若干个整数公有的倍数称为它们的公倍数，其中最小的正整数倍数就是最小公倍数。

例如，\(4\)和\(6\)的公倍数有\(12\)、\(24\)、\(36\)等，其中\(12\)是最小公倍数.

2、非零性：参与求最小公倍数的整数不能全为\(0\)，因为\(0\)乘以任何数都为\(0\)，若包含\(0\)，则不存在最小公倍数.

3、乘积关系：对于任意两个整数\(a\)、\(b\)，它们的最大公因数与最小公倍数的乘积等于\(a\)和\(b\)的乘积，即

\([a,b]\times(a,b)=a\times b\)

例如，\(6\)和\(8\)，\((6,8)=2\)，\([6,8]=24\)，\(2\times24 = 6\times8 = 48\).

4、已知最大公因数求最小公倍数：若已知两个数\(a\)、\(b\)的最大公因数为\(d\)，则它们的最小公倍数为\(\frac{ab}{d}\).

5、互质的两数：如果两个整数\(a\)和\(b\)互质，即\((a,b)=1\)，那么它们的最小公倍数为\(a\times b\) 。

例如，\(3\)和\(5\)互质，它们的最小公倍数就是\(3\times5 = 15\).

6、多个互质数：若\(a_1,a_2,\cdots,a_n\)两两互质，则\([a_1,a_2,\cdots,a_n]=a_1\times a_2\times\cdots\times a_n\) 。

7、可交换性：最小公倍数具有可交换性，即\([a,b]=[b,a]\)。因为最小公倍数是由这两个数的公有质因数和各自独有的质因数相乘得到的，与数的顺序无关.

8、结合律：对于三个整数\(a\)、\(b\)、\(c\)，\([[a,b],c]=[a,[b,c]]\) 。

例如，对于\(2\)、\(3\)、\(4\)，\([[2,3],4]=[6,4]=12\)，\([2,[3,4]]=[2,12]=12\) 。

9、分配律：若\(a\)、\(b\)、\(c\)是整数，且\(a\)是\(b\)和\(c\)的公因数，则\([a,b\times c]=[a,b]\times[a,c]\div a\) 。

10、公倍数是最小公倍数的倍数：\(a\)、\(b\)的任一公倍数必是其最小公倍数\([a,b]\)的倍数。

例如，\(4\)和\(6\)的最小公倍数是\(12\)，它们的其他公倍数\(24\)、\(36\)等都是\(12\)的倍数.

11、分解质因数法计算：先把这几个数分解质因数，最小公倍数等于它们所有的质因数的乘积（如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较多，乘较多的次数）。

例如，求\(12\)和\(18\)的最小公倍数，\(12 = 2^2\times3\)，\(18 = 2\times3^2\)，则最小公倍数为\(2^2\times3^2 = 36\).

12、逐步求法：求多个数的最小公倍数时，可以先求出其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，依次求下去，直到最后一个为止。

例如，求\(4\)、\(6\)、\(8\)的最小公倍数，先求\([4,6]=12\)，再求\([12,8]=24\)，所以\(4\)、\(6\)、\(8\)的最小公倍数是\(24\).

四、最小公倍数的应用场景

分数加减法：在计算异分母分数加减法时，需要先通分，通分的过程就是求分母的最小公倍数。

例如，计算\(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\)，\(\text{lcm}(3,4)=12\)，通分后变为\(\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{7}{12}\)。

周期性问题：在一些具有周期性的问题中，如两个物体分别以不同的周期运动，求它们再次相遇的时间间隔，就需要用到最小公倍数。

例如，一个信号灯每隔\(3\)秒亮一次，另一个信号灯每隔\(4\)秒亮一次，它们同时亮后，下一次同时亮的时间间隔就是\(\text{lcm}(3,4)=12\)秒。

整数分组问题：将一定数量的整数按照两种不同的分组方式进行分组，要使分组后的组数相同，就需要找到两种分组数的最小公倍数。

例如，有一批书，按每\(5\)本一组分或者每\(6\)本一组分，要使两种分法的组数相同，最少需要\(\text{lcm}(5,6)=30\)本书。

五、分数的最小公倍数

1. 分数的最小公倍数定义

对于两个分数\(\frac{a}{b}\)和\(\frac{c}{d}\)（\(a,b,c,d\)为整数，\(b\neq0\)，\(d\neq0\)），它们的最小公倍数定义为\(\frac{\text{lcm}(a,c)}{\gcd(b,d)}\)，这里\(\text{lcm}(a,c)\)表示\(a\)与\(c\)的最小公倍数，\(\gcd(b,d)\)表示\(b\)与\(d\)的最大公因数。

例如，对于分数\(\frac{2}{3}\)和\(\frac{4}{5}\)，\(a = 2\)，\(c = 4\)，\(\text{lcm}(2,4) = 4\)；\(b = 3\)，\(d = 5\)，\(\gcd(3,5) = 1\)，所以它们的最小公倍数是\(\frac{4}{1} = 4\)。

2. 求法分数的最小公倍数步骤

步骤一：求分子的最小公倍数：运用合适的方法（如分解质因数法、列举倍数法等）求出两个分数分子的最小公倍数。比如对于\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{6}{8}\)，先求\(3\)和\(6\)的最小公倍数，通过列举倍数可得\(3\)的倍数有\(3,6,9,\cdots\)，\(6\)的倍数有\(6,12,\cdots\)，所以\(\text{lcm}(3,6) = 6\)。

步骤二：求分母的最大公因数：求出两个分数分母的最大公因数。对于\(4\)和\(8\)，利用辗转相除法或者列举因数法可知\(\gcd(4,8) = 4\)。

步骤三：计算分数的最小公倍数：将分子的最小公倍数作为新分子，分母的最大公因数作为新分母，得到分数的最小公倍数，即对于\(\frac{3}{4}\)和\(\frac{6}{8}\)，其最小公倍数为\(\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)。

3. 分数的最小公倍数性质

与整数最小公倍数的联系：当两个分数的分母都为\(1\)时，分数的最小公倍数就等同于整数的最小公倍数。

例如，对于\(\frac{a}{1}\)和\(\frac{b}{1}\)，其最小公倍数就是\(\text{lcm}(a,b)\)。

通分性质：两个分数的最小公倍数可用于对这两个分数进行通分操作，使得它们分母相同。

例如，对于\(\frac{2}{3}\)和\(\frac{1}{4}\)，它们的最小公倍数是\(\frac{\text{lcm}(2,1)}{\gcd(3,4)}=\frac{2}{1}=2\)，将\(\frac{2}{3}\)和\(\frac{1}{4}\)分别化为以\(2\)为分母（实际操作中是化为以最小公倍数为分母）的分数，\(\frac{2}{3}=\frac{4}{6}\)，\(\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\)，通过最小公倍数实现了通分，便于后续分数的运算等操作。

与最大公因数的关系：对于两个分数\(\frac{a}{b}\)和\(\frac{c}{d}\)，它们的乘积等于它们最大公因数与最小公倍数的乘积，即\(\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{\gcd(a,c)}{\text{lcm}(b,d)} \times \frac{\text{lcm}(a,c)}{\gcd(b,d)}\)，这和整数中最大公因数与最小公倍数的关系类似。