梅森素数：\(2^{p}-1\)（\(p\)为素数）

梅森素数是形如\(2^{p}-1\)（\(p\)为素数）的素数.

命名由来

它是以17世纪法国数学家马林·梅森的名字命名的。马林·梅森在欧几里得、费马等人有关研究的基础上，对\(2^{p}-1\)型的数作了大量的计算、验证，并于1644年在他的《物理数学随感》一书中，对不大于257的素数\(p\)，断言当\(p = 2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257\)时，\(2^{p}-1\)是素数，其它都是合数.

重要意义

理论价值：梅森素数的研究在数论中具有极其重要的地位，它与许多数论中的重要问题和概念密切相关，如完全数、费马小定理、欧拉定理等，推动了数论这一数学分支的发展.

历史意义：自古以来，梅森素数就吸引着众多数学家的关注，其研究历程反映了人类在数学领域不断探索、追求真理的精神，见证了数学学科的发展和进步，是人类智慧和科学精神的结晶.

性质特点

与完全数的关系：如果\(2^{p}-1\)是梅森素数，那么\(2^{p - 1}(2^{p}-1)\)是完全数，反之，所有的偶完全数都具有\(2^{p - 1}(2^{p}-1)\)的形式，其中\(2^{p}-1\)是梅森素数，即梅森素数和偶完全数是一一对应的.

备注：完全数，又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它的定义是所有真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身。例如，6的真因子是1、2、3，而1 + 2+ 3 = 6，所以6是一个完全数。目前发现的最小的几个完全数是 6、28、496、8128。

素性检验的特殊性：对于梅森素数的素性检验，有专门的卢卡斯-莱默检验法。设\(M_{p}=2^{p}-1\)，\(p\)为素数，定义序列\(L_{0}=4\)，\(L_{n + 1}=(L_{n}^{2}-2)\bmod M_{p}\)，则\(M_{p}\)是素数当且仅当\(L_{p - 2}=0\)，该方法为判断梅森数是否为素数提供了相对高效的手段，在梅森素数的寻找过程中发挥了重要作用.

寻找历程

手算笔录时代：公元前，人们仅知道四个\(2^{p}-1\)型素数：\(3\)、\(7\)、\(31\)和\(127\)。15世纪，又有人发现了第\(5\)个\(2^{p}-1\)型素数\(8191\)。1772年，瑞士数学家欧拉双目失明的情况下，靠心算证明了\(2^{31}-1\)是一个素数，这是当时世界上已知的最大素数。在手工计算的漫长年代里，人们历尽艰辛，一共只找到\(12\)个梅森素数.

计算机时代：20世纪30年代，美国数学家莱默改进了卢卡斯的工作，给出了卢卡斯-莱默检验法。1952年，美国数学家鲁滨逊在莱默指导下将此方法编译成计算机程序，使用SWAC型计算机在几个月内，就找到了\(5\)个梅森素数。随着计算机技术的不断发展，计算机的运算速度和性能不断提升，人们利用更加强大的计算机，如超级计算机Cray系列等，发现了越来越多的梅森素数 .

互联网时代：20世纪90年代中后期，因特网梅森素数大搜索（GIMPS）项目建立，人们只要在其主页上下载一个计算梅森素数的免费程序，就可以参与搜寻新的梅森素数。1996年至1998年，GIMPS找到了\(3\)个梅森素数。1999年6月1日，美国密歇根州普利茅茨的数学爱好者哈吉拉特瓦拉通过GIMPS项目找到第\(38\)个梅森素数，这是20世纪发现的最后一个梅森素数，也是人们知道的第一个超过\(100\)万位的素数.

最新成果：到2024年10月，人类共发现了\(52\)个梅森素数.