在数学竞赛中不定方程的常用解法
一、因数（式）分解法
1. 基本原理
因式分解是将一个多项式表示为几个整式乘积的形式。在不定方程中，通过因式分解可以将方程转化为更易于分析和求解的形式。
例如，对于方程\(x^{2}-y^{2}=15\)，可以因式分解为\((x + y)(x - y)=15\)。
2. 步骤与示例
步骤一：对不定方程进行因式分解
示例一：对于方程\(x^{3}-y^{3}=65\)，根据立方差公式\(a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})\)，将方程因式分解为\((x - y)(x^{2}+xy + y^{2}) = 65\)。
示例二：对于方程\(x^{2}+3xy + 2y^{2}=10\)，可因式分解为\((x + y)(x + 2y)=10\)。
步骤二：分析因式的可能取值组合
对于示例一：因为\(65 = 1\times65 = 5\times13\)（考虑整数分解情况），所以有以下几种情况：
当\(\left\{\begin{array}{l}x - y = 1\\x^{2}+xy + y^{2}=65\end{array}\right.\)，由\(x - y = 1\)可得\(x = y + 1\)，将其代入\(x^{2}+xy + y^{2}=65\)得\((y + 1)^{2}+(y + 1)y + y^{2}=65\)，展开并整理得\(3y^{2}+3y - 64 = 0\)，根据一元二次方程求根公式\(y=\frac{-3\pm\sqrt{9 - 4\times3\times(-64)}}{6}=\frac{-3\pm\sqrt{777}}{6}\)，不是整数解，舍去。
当\(\left\{\begin{array}{l}x - y = 5\\x^{2}+xy + y^{2}=13\end{array}\right.\)，由\(x - y = 5\)可得\(x = y + 5\)，代入\(x^{2}+xy + y^{2}=13\)得\((y + 5)^{2}+(y + 5)y + y^{2}=13\)，展开并整理得\(3y^{2}+15y + 12 = 0\)，即\(y^{2}+5y + 4 = 0\)，因式分解为\((y + 1)(y + 4)=0\)，解得\(y=-1\)或\(y = - 4\)。当\(y=-1\)时，\(x = 4\)；当\(y=-4\)时，\(x = 1\)。
当\(\left\{\begin{array}{l}x - y = 13\\x^{2}+xy + y^{2}=5\end{array}\right.\)，由\(x - y = 13\)可得\(x = y + 13\)，代入\(x^{2}+xy + y^{2}=5\)得\((y + 13)^{2}+(y + 13)y + y^{2}=5\)，展开并整理得\(3y^{2}+39y + 164 = 0\)，判别式\(\Delta = 39^{2}-4\times3\times164=1521 - 1968=-447<0\)，无实数解，舍去。
当\(\left\{\begin{array}{l}x - y = 65\\x^{2}+xy + y^{2}=1\end{array}\right.\)，同理可得方程无实数解，舍去。
对于示例二：因为\(10 = 1\times10 = 2\times5\)，所以有以下情况：
当\(\left\{\begin{array}{l}x + y = 1\\x + 2y = 10\end{array}\right.\)，解方程组得\(\left\{\begin{array}{l}x=-8\\y = 9\end{array}\right.\)。
当\(\left\{\begin{array}{l}x + y = 10\\x + 2y = 1\end{array}\right.\)，解方程组得\(\left\{\begin{array}{l}x = 19\\y=-9\end{array}\right.\)。
当\(\left\{\begin{array}{l}x + y = 2\\x + 2y = 5\end{array}\right.\)，解方程组得\(\left\{\begin{array}{l}x=-1\\y = 3\end{array}\right.\)。
当\(\left\{\begin{array}{l}x + y = 5\\x + 2y = 2\end{array}\right.\)，解方程组得\(\left\{\begin{array}{l}x = 8\\y=-3\end{array}\right.\)。
3. 注意事项
在分析因式的取值组合时，要全面考虑所有可能的整数分解情况。同时，解出的解需要代入原不定方程进行检验，确保其正确性。另外，有些不定方程因式分解后得到的方程组可能会出现无整数解或无实数解的情况，需要仔细甄别。
二、整数分离法
1. 原理阐述
整数分离法主要用于二元一次不定方程\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为整数）。其核心思想是将其中一个未知数用另一个未知数表示出来，然后把这个表达式拆分成一个整数部分和一个分数部分。通过分析分数部分为\(0\)（或满足一定整数条件）的情况，来寻找方程的特解。
2. 具体步骤与示例
步骤一：变形方程
以方程\(7x + 4y = 26\)为例，首先将方程变形为\(y\)关于\(x\)的表达式，即\(y=\frac{26 - 7x}{4}\)。
步骤二：分离整数部分
对\(\frac{26 - 7x}{4}\)进行处理，将其写成\(y = \frac{26 - 8x + x}{4}= \frac{26 - 8x}{4}+\frac{x}{4}=6 - 2x+\frac{x + 2}{4}\)。这样就把\(y\)分离成了整数部分\(6 - 2x\)和分数部分\(\frac{x + 2}{4}\)。
步骤三：确定特解
为了使\(y\)为整数，就需要分数部分\(\frac{x + 2}{4}\)为整数。通过试值的方法，当\(x = 2\)时，\(\frac{2 + 2}{4}=1\)，此时\(y = 6 - 2\times2 + 1 = 3\)，所以\((2,3)\)是方程\(7x + 4y = 26\)的一组特解。
3. 另一个示例加深理解
考虑方程\(5x - 3y = 7\)。
步骤一：变形方程
把方程变形为\(y=\frac{5x - 7}{3}\)。
步骤二：分离整数部分
进一步写成\(y=\frac{5x - 6 - 1}{3}=\frac{5x - 6}{3}-\frac{1}{3}= \frac{5}{3}x - 2-\frac{1}{3}\)，再调整为\(y = x - 2+\frac{2x - 1}{3}\)。
步骤三：确定特解
为使\(y\)为整数，要求\(\frac{2x - 1}{3}\)为整数。通过试值，当\(x = 2\)时，\(\frac{2\times2 - 1}{3}=1\)，此时\(y = 2 - 2 + 1 = 1\)，得到特解\((2,1)\)。
4. 在竞赛中的优势与注意事项
优势
这种方法在竞赛中比较直观，对于一些系数不是特别复杂的不定方程，能够较快地找到特解。而且在找到特解后，结合通解公式（若\((x_0,y_0)\)是二元一次不定方程\(ax + by = c\)的特解，且\(d=(a,b)\)，则通解为\(\begin{cases}x = x_0+\frac{b}{d}n\\y = y_0-\frac{a}{d}n\end{cases}\)，\(n\in Z\)）可以得到方程的所有整数解。
注意事项
需要对分数部分的取值进行仔细分析，试值过程可能需要根据系数的特点和经验来进行合理猜测。同时，在分离整数部分时，要确保变形的正确性，避免出现计算错误。
三、辗转相除法结合回代法（针对二元一次不定方程）
步骤：
首先用辗转相除法求\(a\)和\(b\)的最大公因数\(d\)，并记录辗转相除过程中的等式。例如，对于方程\(21x + 13y = 1\)，求\((21,13)\)：\(21 = 1\times13 + 8\)，\(13 = 1\times8 + 5\)，\(8 = 1\times5+3\)，\(5 = 1\times3 + 2\)，\(3 = 1\times2 + 1\)。
然后从最后一个等式开始回代，逐步求出\(x\)和\(y\)的表达式。\(1 = 3 - 1\times2\)，把\(2 = 5 - 1\times3\)代入得\(1 = 3 - 1\times(5 - 1\times3)=2\times3 - 1\times5\)，继续代入前面的等式，最终得到\(1 = 2\times21-3\times13\)，所以特解为\(x = 2\)，\(y=-3\)。
四、奇偶性分析
1. 基本原理
整数可以分为奇数和偶数。偶数能被\(2\)整除，可表示为\(2k\)（\(k\)为整数），奇数不能被\(2\)整除，可表示为\(2k + 1\)（\(k\)为整数）。在不定方程中，根据方程中各项的奇偶性以及整数运算的奇偶性规律来分析方程的解。
在加法运算中，偶数 + 偶数 = 偶数，奇数 + 奇数 = 偶数，偶数 + 奇数 = 奇数；
在乘法运算中，偶数×偶数 = 偶数，奇数×奇数 = 奇数，偶数×奇数 = 偶数。
2. 具体应用方法
判断方程是否有解
对于方程\(3x + 5y = 49\)，分析其奇偶性。因为\(49\)是奇数，\(3x\)的奇偶性取决于\(x\)（当\(x\)为偶数时，\(3x\)为偶数；当\(x\)为奇数时，\(3x\)为奇数），\(5y\)的奇偶性取决于\(y\)（当\(y\)为偶数时，\(5y\)为偶数；当\(y\)为奇数时，\(5y\)为奇数）。
若\(y\)是偶数，\(5y\)是偶数，那么\(3x\)必须是奇数，所以\(x\)是奇数；若\(y\)是奇数，\(5y\)是奇数，那么\(3x\)必须是偶数，所以\(x\)是偶数。由此可知方程有解，并且可以根据奇偶性缩小\(x\)和\(y\)的取值范围来求解。
确定未知数的奇偶性范围
对于方程\(x^{2}+y^{2}=z^{2}\)（勾股方程），当\(z\)是奇数时，\(z^{2}\)也是奇数。因为奇数 = 偶数 + 奇数，所以\(x\)和\(y\)必然一奇一偶。假设\(x\)是奇数，可设\(x = 2m + 1\)，\(y = 2n\)（\(m\)、\(n\)为整数），代入方程可得\((2m + 1)^{2}+(2n)^{2}=z^{2}\)，展开式子后根据奇偶性进一步分析\(z\)的形式以及\(m\)、\(n\)的取值范围。
通过奇偶性构造新方程求解
对于方程\(2x + 3y + 4z = 100\)，先分析奇偶性。因为\(100\)是偶数，\(2x\)是偶数，\(4z\)是偶数，所以\(3y\)的奇偶性决定了方程左边的奇偶性。\(3y\)为偶数时，\(y\)为偶数，设\(y = 2k\)（\(k\)为整数），原方程变为\(2x + 4z + 6k = 100\)，即\(x + 2z + 3k = 50\)，这样就构造出了一个新的不定方程，通过对新方程的分析和求解来得到原方程的解。
3. 结合其他方法求解
奇偶性分析常常与试值法结合。
例如，对于方程\(3x - 7y = 11\)，由奇偶性可知，当\(y\)为奇数时，\(7y\)为奇数，\(3x\)为偶数，所以\(x\)为偶数；当\(y\)为偶数时，\(7y\)为偶数，\(3x\)为奇数，所以\(x\)为奇数。先根据奇偶性初步确定\(x\)和\(y\)的奇偶性后，再通过试值法来找到具体的解。比如从\(y = 1\)（奇数）开始试值，当\(y = 1\)时，\(3x - 7\times1 = 11\)，解得\(x = 6\)，得到一组解\((6,1)\)。
五、模运算（同余）法
原理：对于不定方程\(ax + by = c\)，对两边同时取模\(m\)（\(m\)为整数），根据同余的性质来求解。
例如，对于方程\(7x - 4y = 5\)，两边同时取模\(4\)，得到\(7x\equiv5(\bmod4)\)，因为\(7\equiv3(\bmod4)\)，所以\(3x\equiv5(\bmod4)\)，进一步得到\(x\equiv3(\bmod4)\)，这就表明\(x = 4k + 3\)（\(k\)为整数），将其代入原方程可以简化求解过程。
六、不等式估计法
原理：通过对不定方程中的未知数建立不等式关系，来确定未知数的取值范围，进而求解。
例如，对于方程\(x^{2}+y^{2}=1997\)，因为\(x^{2}\geqslant0\)，\(y^{2}\geqslant0\)，且\(x\)、\(y\)是整数，又因为\(44^{2}=1936\)，\(45^{2}=2025\)，所以\(|x|\leqslant44\)，\(|y|\leqslant44\)，然后在这个范围内通过试值等方法求解方程。
七、构造法
原理：根据不定方程的特点，构造出一些特殊的式子或数列来帮助求解。
例如，对于方程\(x + y + z = xyz\)，可以构造函数\(f(t)=\frac{1}{t - 1}\)（\(t\neq1\)），设\(x = \frac{1}{a - 1}\)，\(y = \frac{1}{b - 1}\)，\(z = \frac{1}{c - 1}\)，代入原方程化简后得到\(abc = a + b + c\)，这样通过对新方程的分析来求解原方程。
