因式分解
平方差公式
\(a^{2}-b^{2}=(a + b)(a - b)\)
从代数角度理解，它表示两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的乘积。
例如，对于\(4^{2}-3^{2}\)，可以将\(4\)看作\(a\)，\(3\)看作\(b\)，根据平方差公式可得
\(4^{2}-3^{2}=(4 + 3)(4 - 3)=7\times1 = 7\)。
\((a + b)(a - b)=a\times a - a\times b + b\times a - b\times b=a^{2}-b^{2}\)
先将\((a + b)\)与\((a - b)\)相乘，然后通过合并同类项得到平方差公式。
化简\((x + 3)^{2}-(x - 2)^{2}\)。根据平方差公式，可将其变形为
\(((x + 3)+(x - 2))((x + 3)-(x - 2))=(2x + 1)\times5 = 10x + 5\)。
多项式\(9x^{2}-16y^{2}\)，可以将\(9x^{2}\)看作\((3x)^{2}\)，\(16y^{2}\)看作\((4y)^{2}\)，然后利用平方差公式进行因式分解，得到
\(9x^{2}-16y^{2}=(3x + 4y)(3x - 4y)\)。
方程\((2x + 5)^{2}-(x - 3)^{2}=0\)，利用平方差公式将其化为
\(((2x + 5)+(x - 3))((2x + 5)-(x - 3))=0\)，即\((3x + 2)(x + 8)=0\)。
则\(3x + 2 = 0\)或\(x + 8 = 0\)，解得\(x=-\frac{2}{3}\)或\(x=-8\)。
判断一个数是否能分解为两个数的乘积形式。对于\(121 - 49\)，\(121 = 11^{2}\)，\(49 = 7^{2}\)，根据平方差公式
\(121 - 49=(11 + 7)(11 - 7)=18\times4 = 72\)。
在应用平方差公式时，要准确识别公式中的\(a\)和\(b\)。
例如，对于\((-x + y)(x + y)\)，需要将式子变形为\((y - x)(y + x)\)，这里\(a = y\)，\(b = x\)，然后利用平方差公式得到\((y - x)(y + x)=y^{2}-x^{2}\)。同时，要注意平方差公式的形式是\(a^{2}-b^{2}\)，不能错误地应用到\(a^{2}+b^{2}\)等其他形式上，\(a^{2}+b^{2}\)一般不能直接用平方差公式进行因式分解。
完全平方和公式
\((a + b)^{2}=a^{2}+2ab + b^{2}\)
\(x^{2}+6x + 9\)，其中\(a = x\)，\(b = 3\)，因为\(2ab = 2\times x\times3 = 6x\)，所以\(x^{2}+6x + 9=(x + 3)^{2}\)。
用于将形如\(a^{2}+2ab + b^{2}\)的式子进行因式分解，也可用于代数式的化简、求值以及二次函数顶点式的推导等。
完全平方差公式
\((a - b)^{2}=a^{2}-2ab + b^{2}\)
\(4x^{2}-12x + 9\)，\(a = 2x\)，\(b = 3\)，\(2ab = 2\times2x\times3 = 12x\)，所以\(4x^{2}-12x + 9=(2x - 3)^{2}\)。
与完全平方和公式类似，用于因式分解、代数式化简等，例如在求二次函数\(y = ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)）的最值时，若能将其化为顶点式\(y=a(x - h)^{2}+k\)（其中\((h,k)\)为顶点坐标），就可能会用到完全平方差公式。
立方和公式
\(a^{3}+b^{3}=(a + b)(a^{2}-ab + b^{2})\)
\(x^{3}+8\)，因为\(8 = 2^{3}\)，所以\(x^{3}+8=x^{3}+2^{3}=(x + 2)(x^{2}-2x + 4)\)。
在分解含有立方和形式的多项式时使用，如在高次多项式的化简、解方程（如\(x^{6}-y^{6}=(x^{3})^{2}-(y^{3})^{2}=(x^{3}+y^{3})(x^{3}-y^{3})\)，其中\(x^{3}+y^{3}\)可利用立方和公式继续分解）等过程中。
立方差公式
\(a^{3}-b^{3}=(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})\)
\(27x^{3}-8y^{3}\)，\(27x^{3}=(3x)^{3}\)，\(8y^{3}=(2y)^{3}\)，所以\(27x^{3}-8y^{3}=(3x - 2y)((3x)^{2}+(3x)(2y)+(2y)^{2})=(3x - 2y)(9x^{2}+6xy + 4y^{2})\)。
类似于立方和公式，用于分解立方差形式的多项式，在数学运算和方程求解中起到化简式子的作用。
完全立方和公式
\((a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}\)
\((x + 1)^{3}=x^{3}+3x^{2}\times1 + 3x\times1^{2}+1^{3}=x^{3}+3x^{2}+3x + 1\)。
在展开含有\((a + b)^{3}\)形式的式子、证明一些代数恒等式以及研究函数的幂级数展开等方面有应用。
完全立方差公式
\((a - b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b + 3ab^{2}-b^{3}\)
\((x - 2)^{3}=x^{3}-3x^{2}\times2 + 3x\times2^{2}-2^{3}=x^{3}-6x^{2}+12x - 8\)。
与完全立方和公式类似，用于式子展开、代数恒等式证明等，例如在多项式的精确计算和近似计算中都可能会用到。
分组分解法
\(ax + ay + bx + by=a(x + y)+b(x + y)=(a + b)(x + y)\)
\(3x + 3y + 2x + 2y\)，可以分组为\((3x + 3y)+(2x + 2y)=3(x + y)+2(x + y)=(3 + 2)(x + y)=5(x + y)\)。
这种公式在多项式的因式分解中，当多项式的项数较多且可以通过合理分组后提取公因式时非常有用。
十字相乘法
原理：对于二次三项式\(ax^{2}+bx + c\)（\(a\neq0\)），如果能找到两个数\(p\)和\(q\)，使得\(pq = ac\)且\(p + q = b\)，那么\(ax^{2}+bx + c=(ax + p)(x + q/a)\)。
步骤示例：分解因式\(x^{2}+5x + 6\)。
首先分析\(a = 1\)，\(b = 5\)，\(c = 6\)，需要找到两个数\(p\)和\(q\)，使得\(pq = 1\times6 = 6\)且\(p + q = 5\)，容易发现\(p = 2\)，\(q = 3\)。
所以\(x^{2}+5x + 6=(x + 2)(x + 3)\)。
应用场景
因式分解：这是十字相乘法最主要的应用场景。例如分解\(2x^{2}-5x - 3\)，\(a = 2\)，\(b=-5\)，\(c = - 3\)，\(ac=-6\)，找到\(p = - 6\)，\(q = 1\)（因为\(-6\times1=-6\)且\(-6 + 1=-5\)），则\(2x^{2}-5x - 3=(2x + 1)(x - 3)\)。
解方程：用于求解一元二次方程。如解方程\(x^{2}-3x - 10 = 0\)，通过十字相乘法将其分解为\((x - 5)(x + 2)=0\)，解得\(x = 5\)或\(x=-2\)。
双十字相乘法
原理：对于二次六项式\(ax^{2}+bxy + cy^{2}+dx + ey + f\)，先将\(ax^{2}+bxy + cy^{2}\)用十字相乘法分解为\((m_1x + n_1y)(m_2x + n_2y)\)，然后再通过列竖式的方式，结合常数项\(f\)，找到合适的组合使得交叉相乘再相加后的结果等于\(dx + ey\)。
步骤示例：分解因式\(x^{2}+2xy - 3y^{2}+3x + y - 2\)。
首先对\(x^{2}+2xy - 3y^{2}\)进行十字相乘法，得到\((x + 3y)(x - y)\)。
然后进行双十字相乘，设\(x^{2}+2xy - 3y^{2}+3x + y - 2=(x + 3y + m)(x - y + n)\)，展开式子\((x + 3y + m)(x - y + n)=x^{2}+2xy - 3y^{2}+(m + n)x+(3n - m)y + mn\)。
通过对比系数可得方程组\(\begin{cases}m + n = 3\\3n - m = 1\\mn=-2\end{cases}\)，解这个方程组得\(m = 2\)，\(n = 1\)。
所以\(x^{2}+2xy - 3y^{2}+3x + y - 2=(x + 3y + 2)(x - y + 1)\)。
应用场景
因式分解二次六项式：主要用于分解含有两个变量的二次六项式。例如，在代数式化简、多元函数的部分分式分解等问题中，当遇到这种类型的多项式时，双十字相乘法是一种有效的分解工具。
解析几何中二次曲线方程化简：在解析几何中，对于一些二次曲线方程如\(Ax^{2}+Bxy + Cy^{2}+Dx + Ey + F = 0\)（\(B\neq0\)），双十字相乘法可以帮助我们对其进行因式分解，从而更好地研究曲线的性质，如判断曲线是否为两条直线的组合等。
因式分解例题（简单）
例1：分解因式\(x^2 - 9\)
分析：这是一个平方差的形式，\(a = x\)，\(b = 3\)，可以直接利用平方差公式\(a^2 - b^2=(a + b)(a - b)\)。
解答：\(x^2-9=x^2 - 3^2=(x + 3)(x - 3)\)。
例2：分解因式\(4x^2−25\)
分析：同样是平方差形式，\(a = 2x\)，\(b = 5\)。
解答：\(4x^2 - 25=(2x)^2-5^2=(2x + 5)(2x - 5)\)。
例3：分解因式\(9x^2 - 1\)
分析：还是平方差形式，\(a = 3x\)，\(b = 1\)。
解答：\(9x^2 - 1=(3x)^2-1^2=(3x + 1)(3x - 1)\)。
例4：分解因式\(x^2+6x + 9\)
分析：此式是完全平方形式，\(a = x\)，\(b = 3\)，符合\(a^2 + 2ab + b^2=(a + b)^2\)。
解答：\(x^2 + 6x+9=x^2+2\times3x + 3^2=(x + 3)^2\)。
例5：分解因式\(4x^2+12x + 9\)
分析：符合完全平方公式，\(a = 2x\)，\(b = 3\)。
解答：\(4x^2 + 12x+9=(2x)^2+2\times(2x)\times3+3^2=(2x + 3)^2\)。
例6：分解因式\(x^2 - 4x + 4\)
分析：是完全平方形式，\(a=x\)，\(b = 2\)，利用\(a^2-2ab + b^2=(a - b)^2\)。
解答：\(x^2-4x + 4=x^2-2\times2x+2^2=(x - 2)^2\)。
例7：分解因式\(ax + ay\)
分析：有公因式\(a\)，可使用提公因式法。
解答：\(ax + ay=a(x + y)\)。
例8：分解因式\(3x^2+6x\)
分析：公因式是\(3x\)。
解答：\(3x^2+6x = 3x(x + 2)\)。
例9：分解因式\(5x^3 - 10x^2\)
分析：公因式为\(5x^2\)。
解答：\(5x^3-10x^2=5x^2(x - 2)\)。
例10：分解因式\(x^3 - x\)
分析：先提公因式\(x\)，得到\(x(x^2 - 1)\)，然后\(x^2 - 1\)是平方差形式。
解答：\(x^3 - x=x(x^2 - 1)=x(x + 1)(x - 1)\)。
例11：分解因式\(2x^3 - 8x\)
分析：先提公因式\(2x\)，得到\(2x(x^2 - 4)\)，\(x^2 - 4\)是平方差形式。
解答：\(2x^3 - 8x=2x(x^2 - 4)=2x(x + 2)(x - 2)\)。
例12：分解因式\(x^2y - 4y\)
分析：先提公因式\(y\)，得到\(y(x^2 - 4)\)，\(x^2 - 4\)是平方差形式。
解答：\(x^2y - 4y=y(x^2 - 4)=y(x + 2)(x - 2)\)。
例13：分解因式\(x^2 - xy + xz - yz\)
分析：分组分解，前两项一组提公因式\(x\)，后两项一组提公因式\(z\)，然后再提公因式\((x - y)\)。
解答：\(x^2-xy + xz - yz=x(x - y)+z(x - y)=(x - y)(x + z)\)。
例14：分解因式\(ax + bx + ay + by\)
分析：分组分解，\((ax + bx)+(ay + by)\)，分别提公因式后再提公因式\((a + b)\)。
解答：\(ax + bx + ay + by=(ax + bx)+(ay + by)=x(a + b)+y(a + b)=(a + b)(x + y)\)。
例15：分解因式\(m^2 - n^2+2m + 2n\)
分析：分组分解，\((m^2 - n^2)+(2m + 2n)\)，前一组用平方差公式，后一组提公因式\(2\)，然后提公因式\((m + n)\)。
解答：\(m^2 - n^2+2m + 2n=(m + n)(m - n)+2(m + n)=(m + n)(m - n + 2)\)。
例16：分解因式\(x^2+3x - 10\)
分析：利用十字相乘法，\(x^2+3x - 10=(x + 5)(x - 2)\)，因为\(5\times(-2)=-10\)，\(5+(-2)=3\)。
解答：\(x^2+3x - 10=(x + 5)(x - 2)\)。
例17：分解因式\(x^2 - 5x + 6\)
分析：十字相乘法，\(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\)，因为\((-2)\times(-3)=6\)，\(-2+(-3)=-5\)。
解答：\(x^2 - 5x + 6=(x - 2)(x - 3)\)。
例18：分解因式\(2x^2+5x + 3\)
分析：十字相乘法，\(2x^2+5x + 3=(2x + 3)(x + 1)\)，因为\(2\times1 = 2\)，\(3\times1=3\)，\(3 + 2\times1=5\)。
解答：\(2x^2+5x + 3=(2x + 3)(x + 1)\)。
例19：分解因式\(3x^2 - 7x - 6\)
分析：十字相乘法，\(3x^2 - 7x - 6=(3x + 2)(x - 3)\)，因为\(3\times(-3)=-9\)，\(2\times1 = 2\)，\(2+(-9)=-7\)。
解答：\(3x^2 - 7x - 6=(3x + 2)(x - 3)\)。
例20：分解因式\(x^3+2x^2 - 9x - 18\)
分析：分组分解，\((x^3+2x^2)-(9x + 18)\)，分别提公因式后再提公因式\((x + 2)\)。
解答：\(x^3+2x^2 - 9x - 18=x^2(x + 2)-9(x + 2)=(x + 2)(x^2 - 9)=(x + 2)(x + 3)(x - 3)\)。
例21：分解因式\(x^4 - 1\)
分析：利用平方差公式两次，\(x^4 - 1=(x^2 + 1)(x^2 - 1)=(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)\)。
解答：\(x^4 - 1=(x^2 + 1)(x^2 - 1)=(x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)\)。
例22：分解因式\(16x^4 - 81\)
分析：平方差公式，\(16x^4 - 81=(4x^2 + 9)(4x^2 - 9)=(4x^2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)\)。
解答：\(16x^4 - 81=(4x^2 + 9)(4x^2 - 9)=(4x^2 + 9)(2x + 3)(2x - 3)\)。
例23：分解因式\(x^2 - 10x + 25 - y^2\)
分析：前三项是完全平方形式，然后利用平方差公式，\((x - 5)^2 - y^2=(x - 5 + y)(x - 5 - y)\)。
解答：\(x^2 - 10x + 25 - y^2=(x - 5)^2 - y^2=(x - 5 + y)(x - 5 - y)\)。
例24：分解因式\(a^2 - b^2 - 2b - 1\)
分析：将后三项组合成完全平方形式，\(a^2-(b^2 + 2b + 1)=a^2-(b + 1)^2=(a + b + 1)(a - b - 1)\)。
解答：\(a^2 - b^2 - 2b - 1=a^2-(b^2 + 2b + 1)=a^2-(b + 1)^2=(a + b + 1)(a - b - 1)\)。
例25：分解因式\(x^3 - 2x^2 + x\)
分析：先提公因式\(x\)，然后利用完全平方公式，\(x(x^2 - 2x + 1)=x(x - 1)^2\)。
解答：\(x^3 - 2x^2 + x=x(x^2 - 2x + 1)=x(x - 1)^2\)。
例26：分解因式\(2x^2 - 18\)
分析：先提公因式\(2\)，再利用平方差公式，\(2(x^2 - 9)=2(x + 3)(x - 3)\)。
解答：\(2x^2 - 18=2(x^2 - 9)=2(x + 3)(x - 3)\)。
例27：分解因式\(x^4 - 8x^2+16\)
分析：将\(x^4 - 8x^2 + 16\)看作\((x^2)^2-8x^2 + 16\)，利用完全平方公式，得到\((x^2 - 4)^2\)，再用平方差公式，\((x^2 - 4)^2=(x + 2)^2(x - 2)^2\)。
解答：\(x^4 - 8x^2+16=(x^2 - 4)^2=(x + 2)^2(x - 2)^2\)。
例28：分解因式\(3x^3 - 12x\)
分析：先提公因式\(3x\)，得到\(3x(x^2 - 4)\)，再用平方差公式，\(3x(x + 2)(x - 2)\)。
解答：\(3x^3 - 12x=3x(x^2 - 4)=3x(x + 2)(x - 2)\)。
例29：分解因式\(x^2y - 3xy - 4y\)
分析：先提公因式\(y\)，得到\(y(x^2 - 3x - 4)\)，再用十字相乘法，\(y(x - 4)(x + 1)\)。
解答：\(x^2y - 3xy - 4y=y(x^2 - 3x - 4)=y(x - 4)(x + 1)\)。
例30：分解因式\(x^3 + 3x^2 - 4x - 12\)
分析：分组分解，\((x^3 + 3x^2)-(4x + 12)\)，提公因式后得到\(x^2(x + 3)-4(x + 3)=(x + 3)(x^2 - 4)=(x + 3)(x + 2)(x - 2)\)。
解答：\(x^3 + 3x^2 - 4x - 12=(x + 3)(x^2 - 4)=(x + 3)(x + 2)(x - 2)\)。
例31：分解因式\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4\)
分析：利用完全平方公式，\((a^2 - b^2)^2\)，再用平方差公式，\((a + b)^2(a - b)^2\)。
解答：\(a^4 - 2a^2b^2 + b^4=(a^2 - b^2)^2=(a + b)^2(a - b)^2\)。
例32：分解因式\(9x^2 - 6x + 1 - y^2\)
分析：前三项是完全平方形式，\((3x - 1)^2 - y^2=(3x - 1 + y)(3x - 1 - y)\)。
解答：\(9x^2 - 6x + 1 - y^2=(3x - 1)^2 - y^2=(3x - 1 + y)(3x - 1 - y)\)。
例33：分解因式\(x^3 - x^2 - x + 1\)
分析：分组分解，\((x^3 - x^2)-(x - 1)\)，提公因式后得到\(x^2(x - 1)-(x - 1)=(x - 1)(x^2 - 1)=(x - 1)^2(x + 1)\)。
解答：\(x^3 - x^2 - x + 1=(x - 1)(x^2 - 1)=(x - 1)^2(x + 1)\)。
例34：分解因式\(4x^2 - 4xy + y^2 - 9\)
分析：前三项是完全平方形式，\((2x - y)^2 - 3^2=(2x - y + 3)(2x - y - 3)\)。
解答：\(4x^2 - 4xy + y^2 - 9=(2x - y)^2 - 3^2=(2x - y + 3)(2x - y - 3)\)。
因式分解例题（较难）
例题1：\(x^{3}-3x^{2}+4\)
解法：
先进行拆项，\(x^{3}-3x^{2}+4 = x^{3}+x^{2}-4x^{2}+4\)。
分组可得\((x^{3}+x^{2})-(4x^{2}-4)\)。
分别提公因式得\(x^{2}(x + 1)-4(x^{2}-1)\)。
再利用平方差公式\(x^{2}-1=(x + 1)(x - 1)\)，进一步化简为\(x^{2}(x + 1)-4(x + 1)(x - 1)\)。
最后提公因式\((x + 1)\)得到\((x + 1)(x^{2}-4x + 4)\)，再利用完全平方公式\(x^{2}-4x + 4=(x - 2)^{2}\)，最终结果为\((x + 1)(x - 2)^{2}\)。
例题2：\(x^{4}+x^{3}+\frac{9}{4}x^{2}+x + 1\)
解法：
把式子乘以\(4\)化为\(4x^{4}+4x^{3}+9x^{2}+4x + 4\)。
重新组合为\((4x^{4}+4x^{3}+x^{2})+(8x^{2}+4x)+4\)。
分别因式分解得\(x^{2}(2x + 1)^{2}+4x(2x + 1)+4\)。
把\(2x + 1\)看成一个整体，利用完全平方公式得到\((x^{2}+2x + 2)(2x + 1)^{2}\)，再除以\(4\)得到\((x^{2}+2x + 2)(x+\frac{1}{2})^{2}\)。
例题3：\(x^{4}-2x^{3}-27x^{2}-44x + 7\)
解法：
利用试根法，发现\(x = 1\)时，原式\(=1 - 2-27-44 + 7=-65\neq0\)；\(x=-1\)时，原式\(=1 + 2-27 + 44+7 = 27\neq0\)；\(x = 7\)时，原式\(=2401-686 - 1323-308+7 = 91\neq0\)；\(x=-7\)时，原式\(=2401+686-1323 + 308+7=2079\neq0\)。
通过观察系数，尝试分组\((x^{4}-2x^{3}-3x^{2})-(24x^{2}+44x - 7)\)。
分别因式分解得\(x^{2}(x^{2}-2x - 3)-(24x^{2}+44x - 7)\)。
对于\(x^{2}-2x - 3=(x - 3)(x + 1)\)，对于\(24x^{2}+44x - 7=(6x - 1)(4x + 7)\)。
经过多次尝试和调整分组，最终可分解为\((x^{2}+5x - 1)(x^{2}-7x - 7)\)。
例题4：\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc\)
解法：
根据公式\(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a + b + c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab - bc - ca)\)。
例题5：\((x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4)-24\)
解法：
先将式子变形为\([(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)]-24\)。
展开得\((x^{2}+5x + 4)(x^{2}+5x + 6)-24\)。
令\(m=x^{2}+5x + 4\)，则原式变为\(m(m + 2)-24=m^{2}+2m - 24\)。
因式分解\(m^{2}+2m - 24=(m + 6)(m - 4)\)。
再把\(m=x^{2}+5x + 4\)代回得到\((x^{2}+5x + 10)(x^{2}+5x)\)。
例题6：\(x^{8}+x^{4}+1\)
解法：
添项得\(x^{8}+2x^{4}+1 - x^{4}\)。
利用完全平方公式\((x^{4}+1)^{2}-x^{4}\)。
再利用平方差公式\((x^{4}+x^{2}+1)(x^{4}-x^{2}+1)\)。
对于\(x^{4}+x^{2}+1\)再添项\(x^{4}+2x^{2}+1 - x^{2}=(x^{2}+1)^{2}-x^{2}\)，利用平方差公式得到\((x^{2}+x + 1)(x^{2}-x + 1)\)；对于\(x^{4}-x^{2}+1\)同样添项\(x^{4}-2x^{2}+1 + x^{2}=(x^{2}-1)^{2}+x^{2}\)，利用平方差公式得到\((x^{2}+\sqrt{3}x + 1)(x^{2}-\sqrt{3}x + 1)\)。
最终结果为\((x^{2}+x + 1)(x^{2}-x + 1)(x^{2}+\sqrt{3}x + 1)(x^{2}-\sqrt{3}x + 1)\)。
例题7：\(9x^{2}-12xy + 4y^{2}-4x + 4y - 3\)
解法：
先对前三项利用完全平方公式\(9x^{2}-12xy + 4y^{2}=(3x - 2y)^{2}\)。
把式子变形为\((3x - 2y)^{2}-4x + 4y - 3\)。
再进行分组\((3x - 2y)^{2}-2(2x - 2y)-3\)。
令\(m = 3x - 2y\)，则式子变为\(m^{2}-2m - 3\)。
因式分解\(m^{2}-2m - 3=(m - 3)(m + 1)\)。
把\(m = 3x - 2y\)代回得到\((3x - 2y - 3)(3x - 2y + 1)\)。
例题8：\(x^{3}+6x^{2}+11x + 6\)
解法：
试根法，发现\(x=-1\)时，\(x^{3}+6x^{2}+11x + 6=-1 + 6-11 + 6 = 0\)。
所以\((x + 1)\)是一个因式，利用长除法或者分组分解可得\((x + 1)(x^{2}+5x + 6)\)。
再对\(x^{2}+5x + 6\)因式分解为\((x + 2)(x + 3)\)，最终结果为\((x + 1)(x + 2)(x + 3)\)。
例题9：\(x^{4}-7x^{2}y^{2}+81y^{4}\)
解法：
添项得\(x^{4}+18x^{2}y^{2}+81y^{4}-25x^{2}y^{2}\)。
利用完全平方公式\((x^{2}+9y^{2})^{2}-25x^{2}y^{2}\)。
再利用平方差公式\((x^{2}+9y^{2}+5xy)(x^{2}+9y^{2}-5xy)\)。
例题10：\(x^{3}-7x + 6\)
解法：
试根法，发现\(x = 1\)时，\(x^{3}-7x + 6=1 - 7+6 = 0\)。
所以\((x - 1)\)是一个因式，利用长除法或者分组分解可得\((x - 1)(x^{2}+x - 6)\)。
再对\(x^{2}+x - 6\)因式分解为\((x + 3)(x - 2)\)，最终结果为\((x - 1)(x + 3)(x - 2)\)。
例题11：\(2x^{3}-x^{2}-5x - 2\)
解法：
试根法，发现\(x=-1\)时，\(2x^{3}-x^{2}-5x - 2=-2 - 1 + 5-2 = 0\)。
所以\((x + 1)\)是一个因式，利用长除法得到\((x + 1)(2x^{2}-3x - 2)\)。
再对\(2x^{2}-3x - 2\)因式分解为\((2x + 1)(x - 2)\)，最终结果为\((x + 1)(2x + 1)(x - 2)\)。
例题12：\(x^{4}+x^{3}-4x^{2}+x + 1\)
解法：
先乘以\(x^{2}\)得到\(x^{6}+x^{5}-4x^{4}+x^{3}+x^{2}\)。
再进行分组\((x^{6}-4x^{4}+x^{2})+(x^{5}+x^{3})\)。
分别因式分解得\(x^{2}(x^{4}-4x^{2}+1)+x^{3}(x^{2}+1)\)。
对于\(x^{4}-4x^{2}+1\)，令\(m = x^{2}\)，则\(m^{2}-4m + 1\)，利用求根公式解得\(m=2\pm\sqrt{3}\)，即\(x^{4}-4x^{2}+1=(x^{2}-2-\sqrt{3})(x^{2}-2+\sqrt{3})\)。
最终结果为\((x^{2}-2-\sqrt{3})(x^{2}-2+\sqrt{3})(x + 1)\)。
例题13：\(x^{5}-1\)
解法：
根据公式\(x^{n}-1=(x - 1)(x^{n - 1}+x^{n - 2}+\cdots+x + 1)\)，这里\(n = 5\)，所以\(x^{5}-1=(x - 1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x + 1)\)。
例题14：\(x^{6}-y^{6}\)
解法：
根据公式\(a^{6}-b^{6}=(a^{3}+b^{3})(a^{3}-b^{3})\)。
进一步分解\((a + b)(a^{2}-ab + b^{2})(a - b)(a^{2}+ab + b^{2})\)，把\(a=x\)，\(b = y\)代入得到\((x + y)(x^{2}-xy + y^{2})(x - y)(x^{2}+xy + y^{2})\)。
例题15：\(x^{4}-8x^{2}+16 - y^{4}\)
解法：
先对前三项利用完全平方公式\(x^{4}-8x^{2}+16=(x^{2}-4)^{2}\)。
式子变为\((x^{2}-4)^{2}-y^{4}\)。
利用平方差公式\((x^{2}-4 + y^{2})(x^{2}-4 - y^{2})\)。
再对\(x^{2}-4\)利用平方差公式得到\((x + 2 + y^{2})(x - 2 + y^{2})(x + y)(x - y)\)。
例题16：\(x^{3}+3x^{2}+3x - 7\)
解法：
先凑完全立方，\(x^{3}+3x^{2}+3x + 1-8=(x + 1)^{3}-2^{3}\)。
利用立方差公式\((x + 1 - 2)[(x + 1)^{2}+2(x + 1)+4]\)。
化简得\((x - 1)(x^{2}+4x + 7)\)。
例题17：\(x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-13x + 6\)
解法：
试根法，发现\(x = 1\)时，\(x^{4}-5x^{3}+11x^{2}-13x + 6=1-5 + 11-13 + 6 = 0\)。
所以\((x - 1)\)是一个因式，利用长除法得到\((x - 1)(x^{3}-4x^{2}+7x - 6)\)。
再试根发现\(x = 2\)时，\(x^{3}-4x^{2}+7x - 6=8-16 + 14-6 = 0\)。
所以\((x - 2)\)是一个因式，再利用长除法得到\((x - 1)(x - 2)(x^{2}-2x + 3)\)。
例题18：\(8x^{3}+27y^{3}+36x^{2}y + 54xy^{2}\)
解法：
根据完全立方公式\((a + b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b + 3ab^{2}+b^{3}\)，这里\(a = 2x\)，\(b = 3y\)，所以原式\(=(2x + 3y)^{3}\)。
例题19：\(x^{3}-9x^{2}+26x - 24\)
解法：
试根法，发现\(x = 2\)时，\(x^{3}-9x^{2}+26x - 24=8-36 + 52-24 = 0\)。
所以\((x - 2)\)是一个因式，利用长除法得到\((x - 2)(x^{2}-7x + 12)\)。
再对\(x^{2}-7x + 12\)因式分解为\((x - 3)(x - 4)\)，最终结果为\((x - 2)(x - 3)(x - 4)\)。
例题20：\(x^{4}-x^{3}-x + 1\)
解法：
分组可得\((x^{4}-x^{3})-(x - 1)\)。
提公因式得\(x^{3}(x - 1)-(x - 1)\)。
再提公因式\((x - 1)\)得到\((x - 1)(x^{3}-1)\)。
利用立方差公式\((x - 1)^{2}(x^{2}+x + 1)\)。
