与整除有关的奥数真题
题目：在1 - 1000之间，能同时被2、3、5整除的数有多少个？
答案：能同时被2、3、5整除的数即能被它们的最小公倍数30整除。1000÷30 = 33......10，所以有33个。
题目：一个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，这个数最小是多少？
答案：根据题意，这个数如果加上1就能同时被3、4、5整除。3、4、5的最小公倍数是60，所以这个数最小是60 - 1 = 59。
题目：有一个三位数，它能被2整除，又有因数5，百位上是最小的质数，十位上是最小的合数，这个三位数是多少？
答案：能被2整除又有因数5的数个位一定是0。百位上最小的质数是2，十位上最小的合数是4，所以这个三位数是240。
题目：在1 - 100这100个自然数中，能被2或3整除的数共有多少个？
答案：能被2整除的数有100÷2 = 50个，能被3整除的数有100÷3 = 33......1，即33个，能同时被2和3整除（即能被6整除）的数有100÷6 = 16......4，即16个。所以能被2或3整除的数共有50 + 33 - 16 = 67个。
题目：从1 - 9这9个数字中选出三个数字组成一个三位数，要求这个三位数能被3整除，且各位数字不同，这样的三位数共有多少个？
答案：把1 - 9按除以3的余数分类：余数为1的有1、4、7；余数为2的有2、5、8；余数为0的有3、6、9。要组成能被3整除的三位数，有以下情况：（1）从余数为0的数中选3个，有\(A_{3}^3 = 6\)种；（2）从余数为1、余数为2、余数为0的数中各选1个，有\(3×3×3×A_{3}^3 = 162\)种。所以共有6 + 162 = 168种。
题目：已知整数\(1a2a3a4a5a\)能被11整除，求所有满足这个条件的整数。
答案：根据能被11整除的数的特征，奇数位数字之和为\(5a + 1\)，偶数位数字之和为\(a + 2 + 3 + 4=9 + a\)。它们的差\((5a + 1)-(9 + a)=4a - 8\)能被11整除，或\((9 + a)-(5a + 1)=8 - 4a\)能被11整除。当\(4a - 8 = 0\)时，\(a = 2\)；当\(8 - 4a = 0\)时，\(a = 2\)；当\(4a - 8 = 11\)时，\(a=\frac{19}{4}\)（舍去）；当\(8 - 4a = 11\)时，\(a = -\frac{3}{4}\)（舍去）。所以满足条件的整数是\(1222324252\)。
题目：有一个自然数，用它分别去除63、90、130都有余数，且三个余数的和是25，求这个自然数。
答案：设这个自然数为\(x\)，三个余数分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，则\(63 = mx + a\)，\(90 = nx + b\)，\(130 = px + c\)，相加可得\(63 + 90 + 130=(m + n + p)x+(a + b + c)\)，即\(283=(m + n + p)x + 25\)，所以\((m + n + p)x=258\)。将258分解因数\(258 = 2×3×43\)，因为余数和为25，所以除数一定大于\(8\)，所以这个自然数是43。
题目：在\(200 - 300\)之间，有三个连续的自然数，其中最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，这三个数是多少？
答案：设中间的数为\(7x\)，则最小的数为\(7x - 1\)，最大的数为\(7x + 1\)。因为\(7x - 1\)能被3整除，\(7x + 1\)能被13整除。从\(x = 1\)开始尝试，当\(x = 29\)时，\(7x=203\)，\(7x - 1 = 202\)能被3整除，\(7x + 1 = 204\)能被13整除。所以这三个数是202、203、204。
题目：一个五位数\(4x7y5\)同时是9和11的倍数，求这个数。
答案：因为这个数是9的倍数，所以\(4 + x+7 + y + 5=16 + x + y\)能被9整除，即\(x + y = 2\)或\(x + y = 11\)。又因为这个数是11的倍数，所以\((4 + 7 + 5)-(x + y)=16-(x + y)\)能被11整除，当\(x + y = 2\)时，\(16 - 2 = 14\)不能被11整除；当\(x + y = 11\)时，\(16-11 = 5\)不能被11整除；当\(x = 8\)，\(y = 3\)时，\(16-(8 + 3)=5\)不能被11整除；当\(x = 3\)，\(y = 8\)时，\(16-(3 + 8)=5\)能被11整除。所以这个数是\(43785\)。
题目：有一个数，除以3余1，除以4余2，除以5余3，这个数最小是多少？
答案：根据题意，这个数加上2就能同时被3、4、5整除。3、4、5的最小公倍数是60，所以这个数最小是60 - 2 = 58。
题目：在\(1 - 1000\)这\(1000\)个数中，所有能被8整除的数的和是多少？
答案：能被8整除的数构成首项为8，末项为1000（\(1000÷8 = 125\)），公差为8的等差数列。根据等差数列求和公式\(S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，项数\(n=(1000 - 8)÷8 + 1 = 125\)，所以\(S_{125}=\frac{125×(8 + 1000)}{2}=63000\)。
题目：一个数能被3、5、7整除，若用11去除这个数则余1，这个数最小是多少？
答案：3、5、7的最小公倍数是\(3×5×7 = 105\)。设这个数为\(105k\)（\(k\)为正整数），根据题意\(105k = 11m + 1\)（\(m\)为正整数）。当\(k = 1\)时，\(105 = 11m + 1\)，\(m=\frac{104}{11}\)不是整数；当\(k = 2\)时，\(210 = 11m + 1\)，\(m=\frac{209}{11}=19\)。所以这个数最小是210。
题目：从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字中选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3、5、7、13整除，这个数最大是多少？
答案：3、5、7、13的最小公倍数是\(3×5×7×13 = 1365\)。因为\(98765÷1365 = 72......485\)，\(98765 - 485 = 98280\)，数字有重复；\(98280 - 1365 = 96915\)，数字有重复；\(96915 - 1365 = 95550\)，数字有重复；\(94185\)符合要求。所以这个数最大是94185。
题目：一个整数除300、262、205得到相同的余数，这个整数是多少？
答案：设这个整数为\(x\)，余数为\(r\)，则\(300 = ax + r\)，\(262 = bx + r\)，\(205 = cx + r\)。可得\(300 - 262=(a - b)x = 38\)，\(262 - 205=(b - c)x = 57\)，\(300 - 205=(a - c)x = 95\)。\(38\)、\(57\)、\(95\)的最大公因数是19，所以这个整数是19。
题目：有一个自然数，用它分别去除70、110、160所得的三个余数之和为50，求这个自然数。
答案：设这个自然数为\(x\)，三个余数分别为\(a\)、\(b\)、\(c\)，则\(70 = mx + a\)，\(110 = nx + b\)，\(160 = px + c\)，相加可得\(70 + 110 + 160=(m + n + p)x+(a + b + c)\)，即\(340=(m + n + p)x + 50\)，所以\((m + n + p)x = 290\)。将290分解因数\(290 = 2×5×29\)，因为余数和为50，所以除数一定大于\(\frac{50}{3}\approx17\)，所以这个自然数是29。
题目：有一个四位数，它能被9整除，它的各位数字之和为\(a\)，\(a\)的各位数字之和为\(b\)，\(b\)的各位数字之和为\(c\)，求\(c\)。
答案：因为这个四位数能被9整除，所以它的各位数字之和\(a\)能被9整除。又因为\(a\)最大为\(36\)（四位数各位数字最大都是9），\(a\)的各位数字之和\(b\)最大为\(9 + 9 = 18\)，\(b\)的各位数字之和\(c\)最大为\(9 + 9 = 18\)，且\(c\)能被9整除，所以\(c = 9\)。
题目：一个自然数，它可以表示为9个连续自然数的和，也可以表示为10个连续自然数的和，还可以表示为11个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是多少？
答案：设这个自然数为\(N\)。9个连续自然数的和为\(9\times中间数\)，10个连续自然数的和为\(5\times(首项 + 尾项)\)，11个连续自然数的和为\(11\times中间数\)。所以\(N\)是9、5、11的公倍数，9、5、11的最小公倍数是\(9×5×11 = 495\)，所以这个数最小是495。
题目：在小于1000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个？
答案：设这个数为\(abc\)（\(a\)、\(b\)、\(c\)为数字），根据能被11整除的数的特征\((a + c)-b = 11k\)（\(k\)为整数），又\(a + b + c = 13\)。当\(k = 0\)时，\(a + c = b\)，代入\(a + b + c = 13\)得\(b=\frac{13}{2}\)（舍去）；当\(k = 1\)时，\(a + c - b = 11\)，结合\(a + b + c = 13\)，解得\(b = 1\)，\(a + c = 12\)，有\(3\)种情况（\(a = 3\)，\(c = 9\)；\(a = 4\)，\(c = 8\)；\(a = 5\)，\(c = 7\)）；当\(k=- 1\)时，\(b - (a + c)=11\)，结合\(a + b + c = 13\)，解得\(b = 12\)（舍去）。所以共有3个。
题目：将自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9依次重复写下去组成一个1993位数，这个数能否被3整除？
答案：1 - 9这9个数字之和为\(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\)，能被3整除。1993÷9 = 221......4，前面221组的数字和能被3整除，余下的4个数字是1、2、3、4，它们的和为10，不能被3整除。所以这个1993位数不能被3整除。
题目：一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求满足条件的最小自然数。
答案：根据题意，这个数加上2就能被5和6整除，5和6的最小公倍数是30。设这个数为\(30k - 2\)（\(k\)为正整数），代入除以7余1的条件，\((30k - 2)\div7\)余1。当\(k = 1\)时，\((30×1 - 2)\div7 = 4\)（不符合）；当\(k = 2\)时，\((30×2 - 2)\div7 = 8......2\)（不符合）；当\(k = 3\)时，\((30×3 - 2)\div7 = 12......4\)（不符合）；当\(k = 4\)时，\((30×4 - 2)\div7 = 16......6\)（不符合）；当\(k = 5\)时，\((30×
