\(b\mid a\)整除的概念与整除的性质

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一、整除的定义

设\(a\)、\(b\)是两个整数，其中\(b\neq0\)。

如果存在一个整数\(q\)，使得\(a = bq\)，那么就说\(b\)整除\(a\)，或者说\(a\)能被\(b\)整除。

记作\(b\mid a\)，其中\(b\)是除数，\(a\)是被除数。

例如，因为\(10 = 2\times5\)，所以\(2\mid10\)。

如果不存在这样的整数\(q\)，使得\(a = bq\)成立，那么就说\(b\)不能整除\(a\)，记作\(b\nmid a\)。

比如，\(3\nmid7\)，因为不存在整数\(q\)使得\(7 = 3q\)。

二、整除的性质

1. 传递性：若\(a\mid b\)且\(b\mid c\)，则\(a\mid c\)

证明：因为\(a\mid b\)，根据整除的定义，存在整数\(m\)使得\(b = am\)；又因为\(b\mid c\)，存在整数\(n\)使得\(c = bn\)。将\(b = am\)代入\(c = bn\)中，可得\(c=(am)n = a(mn)\)。由于\(mn\)是整数，所以\(a\mid c\)。

示例：已知\(2\mid 6\)（因为\(6 = 2\times3\)），\(6\mid 18\)（因为\(18 = 6\times3\)），所以\(2\mid 18\)（因为\(18 = 2\times9\)）。

2. 线性组合：若\(a\mid b\)且\(a\mid c\)，则对任意整数\(m\)、\(n\)，有\(a\mid(mb+nc)\)

证明：因为\(a\mid b\)，所以存在整数\(p\)使得\(b = ap\)；又因为\(a\mid c\)，存在整数\(q\)使得\(c = aq\)。那么\(mb + nc=m(ap)+n(aq)=a(mp + nq)\)。由于\(mp + nq\)是整数，所以\(a\mid(mb + nc)\)。

示例：若\(3\mid 9\)（因为\(9 = 3\times3\)）且\(3\mid 12\)（因为\(12 = 3\times4\)），对于\(m = 2\)，\(n = -1\)，则\(mb+nc = 2\times9+(-1)\times12 = 18 - 12 = 6\)，且\(3\mid 6\)（因为\(6 = 3\times2\)）。

3. 自反性：对于任意非零整数\(a\)，\(a\mid a\)

证明：因为\(a = a\times1\)，其中\(1\)是整数，所以根据整除的定义，\(a\mid a\)。

示例：对于整数\(5\)，\(5 = 5\times1\)，所以\(5\mid 5\)。

4. 反对称性：若\(a\mid b\)且\(b\mid a\)，则\(a=\pm b\)

证明：因为\(a\mid b\)，存在整数\(m\)使得\(b = am\)；又因为\(b\mid a\)，存在整数\(n\)使得\(a = bn\)。将\(b = am\)代入\(a = bn\)中，得到\(a=(am)n\)，即\(a = amn\)，因为\(a\neq0\)，所以\(mn = 1\)。由于\(m\)和\(n\)是整数，所以\(m = n = 1\)或者\(m = n=- 1\)，即\(a = b\)或者\(a=-b\)。

示例：若\(4\mid - 4\)（因为\(-4 = 4\times(-1)\)）且\(-4\mid 4\)（因为\(4=-4\times(-1)\)），则\(4 = \pm(-4)\)。

5. 乘积性质：若\(a\mid b\)，则\(ac\mid bc\)（\(c\neq0\)）

证明：因为\(a\mid b\)，存在整数\(m\)使得\(b = am\)，那么\(bc=(am)c=a(mc)\)，而\(mc\)是整数，所以\(ac\mid bc\)。

示例：若\(2\mid 6\)（因为\(6 = 2\times3\)），对于\(c = 5\)，则\(2\times5\mid 6\times5\)，即\(10\mid 30\)（因为\(30 = 10\times3\)）。

6. 互质与整除：若\(a\mid bc\)，且\(a\)与\(b\)互质（即\((a,b)=1\)），则\(a\mid c\)

证明：因为\(a\)与\(b\)互质，根据裴蜀定理，存在整数\(x\)、\(y\)使得\(ax + by = 1\)。两边同时乘以\(c\)，得到\(acx + bcy = c\)。已知\(a\mid bc\)，设\(bc = ma\)（\(m\)为整数），则\(acx + may = c\)，即\(a(cx + my)=c\)。因为\(cx + my\)是整数，所以\(a\mid c\)。

示例：已知\(3\mid 4\times9\)，\(3\)与\(4\)互质，所以\(3\mid 9\)。