整数的概念、分类、性质
整数概念
整数是一个数系，包括正整数、零和负整数。
正整数如\(1\)、\(2\)、\(3\cdots\)，零写作\(0\)，负整数如\(-1\)、\(-2\)、\(-3\cdots\)。
整数可以看作是自然数（包括\(0\)）的扩展，当需要表示相反意义的量或者在进行减法等运算时，引入了负整数。
例如，在记账中，收入可以用正整数表示，支出可以用负整数表示；在温度计上，零上温度用正整数表示，零下温度用负整数表示。
整数分类
按正负性分类
正整数：大于\(0\)的整数，是自然数中除\(0\)以外的部分，如\(1\)、\(2\)、\(3\cdots\)，正整数用于计数和表示顺序等，比如班级里的学生人数、比赛的名次等。
零：它既不是正数也不是负数，是一个特殊的整数，在数轴上处于正整数和负整数的中间位置。它在数学运算中有很多特殊性质，如任何数加\(0\)等于原数。
负整数：小于\(0\)的整数，如\(-1\)、\(-2\)、\(-3\cdots\)，负整数可以用于表示亏欠、下降等相反意义的量，比如海拔低于海平面的深度、债务的金额等。
按能否被\(2\)整除分类
偶数：能被\(2\)整除的整数，包括正偶数（如\(2\)、\(4\)、\(6\cdots\)）、\(0\)和负偶数（如\(-2\)、\(-4\)、\(-6\cdots\)）。
偶数的个位数字通常是\(0\)、\(2\)、\(4\)、\(6\)、\(8\)。
奇数：不能被\(2\)整除的整数，包括正奇数（如\(1\)、\(3\)、\(5\cdots\)）和负奇数（如\(-1\)、\(-3\)、\(-5\cdots\)）。
奇数的个位数字通常是\(1\)、\(3\)、\(5\)、\(7\)、\(9\)。
整数性质
运算性质
1、加法性质
封闭性：任意两个整数相加，结果还是整数。例如，\(3+(-2) = 1\)，\(5 + 7 = 12\)等。
交换律：对于任意整数\(a\)和\(b\)，\(a + b=b + a\)。如\(2+(-3)=(-3)+2=-1\)。
结合律：对于任意整数\(a\)、\(b\)和\(c\)，\((a + b)+c=a+(b + c)\)。
例如，\((1 + 2)+(-3)=1+(2 + (-3))=0\)。
2、乘法性质
封闭性：任意两个整数相乘，结果还是整数。例如，\(4\times(-3)=-12\)，\(2\times5 = 10\)等。
交换律：对于任意整数\(a\)和\(b\)，\(a\times b = b\times a\)。如\(3\times(-4)=(-4)\times3=-12\)。
结合律：对于任意整数\(a\)、\(b\)和\(c\)，\((a\times b)\times c=a\times(b\times c)\)。
例如，\((2\times3)\times(-4)=2\times(3\times(-4))=-24\)。
分配律：对于任意整数\(a\)、\(b\)和\(c\)，\(a\times(b + c)=a\times b+a\times c\)。
例如，\(2\times(3 + (-4))=2\times3+2\times(-4)=6 - 8=-2\)。
3、减法性质
封闭性：整数对于减法运算具有封闭性，即任意两个整数相减，结果是整数。
例如，\(5-(-2)=7\)，\(3 - 7=-4\)。
减法是加法的逆运算，对于整数\(a\)和\(b\)，\(a - b=a+(-b)\)。
4、除法性质
整数对于除法运算不具有封闭性。例如，\(5\div2 = 2.5\)不是整数。但在整数范围内，当被除数是除数的倍数时，商是整数。例如，\(10\div2 = 5\)。
序关系性质
三岐性：对于任意两个整数\(a\)和\(b\)，以下三种关系有且仅有一种成立：\(a < b\)、\(a = b\)或\(a > b\)。
例如，对于\(3\)和\(5\)，\(3 < 5\)；对于\(4\)和\(4\)，\(4 = 4\)；对于\(-2\)和\(-3\)，\(-2 > -3\)。
传递性：设\(a\)、\(b\)、\(c\)是整数，若\(a > b\)且\(b > c\)，则\(a > c\)。例如，\(5 > 3\)且\(3 > 1\)，则\(5 > 1\)。
其它性质
绝对值性质：整数\(a\)的绝对值\(\vert a\vert\)是一个非负整数。当\(a\geq0\)时，\(\vert a\vert=a\)；当\(a < 0\)时，\(\vert a\vert=-a\)。
例如，\(\vert 3\vert = 3\)，\(\vert -4\vert = 4\)。绝对值用于衡量整数到\(0\)的距离。
整除性质（在整数范围内）：如果整数\(a\)除以整数\(b\)（\(b\neq0\)）的商是整数且没有余数，就说\(a\)能被\(b\)整除，\(b\)能整除\(a\)，记作\(b\mid a\)。例如，\(6\div3 = 2\)，可以说\(3\)整除\(6\)，即\(3\mid6\)。
整数集的完备性
整数集在通常的度量意义下是不完备的，但在离散度量空间的意义下是完备的，以下分别给出证明：
通常度量意义下整数集不完备的证明
度量的定义：在实数轴上，通常定义两个整数 \(m\) 和 \(n\) 之间的距离为 \(d(m,n)=\vert m - n\vert\)。
不完备性的证明：考虑数列\(a_{n}=\frac{1}{n}\)，当 \(n\) 取正整数时，\(a_{n}\) 是一个柯西列。因为对于任意给定的正数\(\varepsilon\)，总存在正整数 \(N\)，当 \(m,n > N\) 时，\(\vert a_{m}-a_{n}\vert=\vert\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\vert=\frac{\vert m - n\vert}{mn}<\varepsilon\)。然而，\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}=0\)，\(0\) 不是整数，即该柯西列在整数集中不收敛，所以整数集在通常的度量下是不完备的。
离散度量空间意义下整数集完备的证明
离散度量的定义：设 \(Z\) 是整数集，对于任意的 \(m,n\in Z\)，定义离散度量 \(d(m,n)=\begin{cases}0, & m = n\\1, & m\neq n\end{cases}\).
完备性的证明：设\(\{x_n\}\)是整数集中的一个柯西序列。根据离散度量的定义，对于任意的\(\varepsilon\in(0,1)\)，存在正整数 \(N\)，当 \(m,n\geq N\) 时，\(d(x_m,x_n)<\varepsilon\)，这意味着当 \(m,n\geq N\) 时，\(x_m = x_n\)。所以，\(\{x_n\}\)从第 \(N\) 项起为常数列，设 \(x_n = x_N\) ，\(n\geq N\) ，则\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_n = x_N\)，即整数集中的任意柯西序列都收敛，所以整数集在离散度量空间下是完备的。
