素数与合数
一、素数（质数）的定义
定义：一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数。
100 以内的质数有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
二、素数的性质
1. 因数性质
素数只有两个因数，即1和它本身。
例如，17是一个素数，它的因数只有1和17。这是素数最基本的性质，也是素数定义的核心内容。
从整除的角度来看，设\(p\)是素数，对于任意整数\(a\)，如果\(p\mid a\)（\(p\)整除\(a\)），那么\(a = kp\)，其中\(k\)是整数，并且除了\(k = 1\)和\(k=a/p\)这两种情况外，不存在其他整数\(k\)使得等式成立。
2. 分布性质
素数在自然数中的分布是不规则的。随着数字的增大，素数出现的频率会逐渐降低。
例如，在1 - 10之间有4个素数（2、3、5、7），而在101 - 110之间只有2个素数（101、103、107、109四个中的两个）。
素数有无穷多个。可以通过反证法来证明，假设素数是有限个，设为\(p_1,p_2,\cdots,p_n\)，考虑数\(N = p_1p_2\cdots p_n+ 1\)。如果\(N\)是素数，那么它不在\(p_1,p_2,\cdots,p_n\)之中，与假设素数有限矛盾；如果\(N\)是合数，那么它一定有一个素因数\(p\)，\(p\)不能是\(p_1,p_2,\cdots,p_n\)中的任何一个，因为如果\(p = p_i\)（\(i = 1,2,\cdots,n\)），那么\(p_i\mid(N - p_1p_2\cdots p_n)=1\)，这是不可能的，所以素数有无穷多个。
3. 算术基本定理相关性质
任何一个大于1的自然数\(n\)，如果\(n\)为合数，则\(n\)可以分解成素数的乘积，而且这种分解是唯一的（不考虑因数的排列顺序）。
例如，\(12 = 2\times2\times3\)，这种分解方式是唯一的（除了写成\(3\times2\times2\)等顺序不同的形式）。
素数是构成自然数的“基本积木”。每一个合数都可以由素数相乘得到，就像每一个复杂的建筑都可以用基本的建筑材料搭建一样。
4. 同余性质
设\(p\)是素数，对于任意整数\(a\)和\(b\)，如果\(a\times b\equiv0(\bmod p)\)，那么\(a\equiv0(\bmod p)\)或者\(b\equiv0(\bmod p)\)。
例如，设\(p = 5\)，如果\(a\times b\equiv0(\bmod 5)\)，那么要么\(a\)是5的倍数，要么\(b\)是5的倍数。这一性质在数论的同余方程等问题中有广泛应用。
5. 与其他数的关系性质
两个连续的自然数中，必定有一个是素数或者合数。例如，2和3，2是素数，3也是素数；4和5，4是合数，5是素数。
除了2以外，所有的素数都是奇数。因为偶数都能被2整除，所以大于2的偶数不符合素数的定义。例如，3、5、7、11等都是奇数且为素数。
2. 合数的定义和性质
定义：自然数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数。例如，4、6、8、9、10等都是合数。
性质：
合数至少有三个因数。以4为例，4的因数有1、2、4，一共有三个因数。
合数可以分解成两个或两个以上素数的乘积。例如，6 = 2×3，其中2和3是素数；8 = 2×2×2，这里的2是素数。
3. 素数与合数的区别
因数个数不同：素数只有两个因数，而合数至少有三个因数。这是区分素数与合数的最主要特征。例如，3是素数，因数为1和3；而6是合数，因数为1、2、3和6。
能否分解：素数不能分解成除了1和它本身之外的两个自然数的乘积，而合数可以。如5是素数，不能写成其他两个自然数（1和5除外）的乘积形式；9是合数，可以写成3×3。
4. 1既不是素数也不是合数
因为素数要求有两个不同的因数（1和它本身），而1只有一个因数1；合数要求至少有三个因数，1也不满足合数的条件。
5. 素数与合数在数学中的应用
密码学：素数在密码学中有重要的应用。例如，RSA加密算法就是基于大素数的分解难题。该算法中用到两个大素数相乘得到一个合数，将这个合数作为加密的关键部分。攻击者要破解密码就需要分解这个合数，而对于足够大的素数相乘得到的合数，分解是极其困难的。
数论研究：素数和合数是数论的基本研究对象。许多数论问题都与素数和合数的性质有关，如哥德巴赫猜想（任何一个大于2的偶数都可以表示为两个素数之和），这个猜想推动了数论的发展，虽然至今尚未完全证明，但数学家们在研究过程中发现了许多新的数学方法和理论。
