威尔逊定理：\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)
1. 威尔逊定理内容
威尔逊定理指出：一个正整数\(p\)是质数当且仅当\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)。
2. 威尔逊定理证明思路
充分性（如果\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)，那么\(p\)是质数）
假设\(p\)是合数，那么\(p\)可以分解为\(p = ab\)，其中\(1 < a,b < p\)。
如果\(a\neq b\)，那么\(a\)和\(b\)都在\(2\)到\(p - 1\)之间，所以\((p - 1)!\)中包含\(a\)和\(b\)，那么\((p - 1)!\)能被\(p = ab\)整除，即\((p - 1)! \equiv 0\pmod{p}\)，这与\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)矛盾。
如果\(a = b\)，即\(p = a^{2}\)，当\(a > 2\)时，\(2a\leq p - 1\)，所以\((p - 1)!\)中包含\(a\)和\(2a\)，那么\((p - 1)!\)能被\(p = a^{2}\)整除，即\((p - 1)! \equiv 0\pmod{p}\)，也与\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)矛盾。所以\(p\)是质数。
必要性（如果\(p\)是质数，那么\((p - 1)! \equiv - 1\pmod{p}\)）
当\(p = 2\)时，\((2 - 1)! = 1\)，\(1\equiv - 1\pmod{2}\)，定理成立。
当\(p > 2\)时，对于整数\(a\)，\(1\leq a\leq p - 1\)，因为\(p\)是质数，所以\(a\)和\(p\)互质，根据裴蜀定理，存在整数\(x,y\)使得\(ax+py = 1\)，即\(ax\equiv 1\pmod{p}\)，可以找到\(a\)关于模\(p\)的逆元\(a^{-1}\)，且\(a^{-1}\)也在\(1\)到\(p - 1\)之间。
只有\(1\)和\(p - 1\)的逆元是它们本身，其余数两两配对，其乘积模\(p\)为\(1\)，所以\((p - 1)!\equiv1\times(p - 1)\equiv - 1\pmod{p}\)。
3. 威尔逊定理应用领域
质数判断：威尔逊定理提供了一种理论上判断一个数是否为质数的方法。不过，由于阶乘\((p - 1)!\)的计算量随着\(p\)的增大而急剧增大，在实际应用中，对于较大的数，这种方法并不高效，但在理论研究中有一定的价值。
数论研究中的辅助工具：在一些数论问题的证明和研究中，威尔逊定理可以作为中间结论或者辅助工具来使用。例如，在研究同余方程、二次剩余等问题时，可能会涉及到质数的性质，威尔逊定理可以帮助建立一些等式或者推导一些结论。
