矩阵的定义、运算、转置
一、矩阵的定义：从概念到特殊类型
1. 基本定义
矩阵用大写字母（如 \( A, B, C \)）表示，元素用小写字母 \( a_{ij} \) 标记，其中 \( i \) 表示元素所在的行（从1开始），\( j \) 表示所在的列（从1开始）。若矩阵有 \( m \) 行、\( n \) 列，称为“\( m \times n \) 矩阵”，记为 \( A = (a_{ij})_{m \times n} \)。
示例：\( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \) 是 \( 2 \times 3 \) 矩阵，其中 \( a_{12} = -1 \)（第1行第2列），\( a_{23} = 4 \)（第2行第3列）。
2. 常用特殊矩阵
方阵：行数=列数的矩阵（如 \( 2 \times 2, 3 \times 3 \)），记为 \( A_n \)（\( n \) 阶方阵）。示例：\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \) 是2阶方阵。
行矩阵：仅1行的矩阵（行向量），如 \( (1, 3, -2) \)（\( 1 \times 3 \) 行矩阵）。
列矩阵：仅1列的矩阵（列向量），如 \( \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \)（\( 3 \times 1 \) 列矩阵）。
零矩阵：所有元素为0的矩阵，记为 \( O_{m \times n} \)，如 \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \) 零矩阵）。
单位矩阵：主对角线（左上到右下）元素为1，其余为0的方阵，记为 \( E_n \)，如 \( E_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)（3阶单位矩阵）。
二、矩阵的运算
矩阵运算需严格遵循“形状匹配”原则，不同运算对矩阵的行数、列数要求不同，核心运算包括加法、数乘、乘法。
1. 矩阵加法：同型矩阵“对应元素相加”
前提：两个矩阵必须是“同型矩阵”（行数相等且列数相等），否则无法相加。
规则：设 \( A = (a_{ij})_{m \times n} \)，\( B = (b_{ij})_{m \times n} \)，则 \( A + B = (a_{ij} + b_{ij})_{m \times n} \)，即对应位置元素直接相加。
性质：交换律 \( A + B = B + A \)；结合律 \( (A + B) + C = A + (B + C) \)；\( A + O = A \)（\( O \) 是同型零矩阵）。
例题1：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \)，求 \( A + B \)。
解：\( A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \)。
例题2：判断 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)）与 \( C = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 1 \)）能否相加？
解：不能，因为 \( A \) 是 \( 2 \times 2 \) 矩阵，\( C \) 是 \( 2 \times 1 \) 矩阵，不是同型矩阵，不满足加法前提。
例题3：已知 \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \)，\( O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)，求 \( A + O \)。
解：\( A + O = \begin{pmatrix} 2+0 & -1+0 \\ 0+0 & 3+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} = A \)。
2. 矩阵数乘：常数乘“所有元素”
前提：无形状限制，任意矩阵均可与任意常数（实数/复数）相乘。
规则：设常数为 \( k \)，矩阵 \( A = (a_{ij})_{m \times n} \)，则 \( kA = (k \cdot a_{ij})_{m \times n} \)，即用常数乘矩阵的每一个元素。
性质：分配律 \( k(A + B) = kA + kB \)；结合律 \( (k \cdot l)A = k(lA) \)；\( 1 \cdot A = A \)，\( 0 \cdot A = O \)。
例题4：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，常数 \( k = 2 \)，求 \( 2A \)。
解：\( 2A = \begin{pmatrix} 2 \times 1 & 2 \times 2 \\ 2 \times 3 & 2 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \)。
例题5：已知 \( B = \begin{pmatrix} 3 & -2 & 1 \\ 0 & 5 & -4 \end{pmatrix} \)，常数 \( k = -1 \)，求 \( -B \)（即 \( -1 \cdot B \)）。
解：\( -B = \begin{pmatrix} -1 \times 3 & -1 \times (-2) & -1 \times 1 \\ -1 \times 0 & -1 \times 5 & -1 \times (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 0 & -5 & 4 \end{pmatrix} \)。
例题6：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \)，\( k = 3 \)，求 \( k(A + B) \) 与 \( kA + kB \)，验证是否相等。
解：
\( A + B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \)，故 \( k(A + B) = 3 \times \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 24 \\ 30 & 36 \end{pmatrix} \)；
\( kA = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix} \)，\( kB = \begin{pmatrix} 15 & 18 \\ 21 & 24 \end{pmatrix} \)，故 \( kA + kB = \begin{pmatrix} 3+15 & 6+18 \\ 9+21 & 12+24 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 24 \\ 30 & 36 \end{pmatrix} \)；
两者相等，验证分配律成立。
3. 矩阵乘法：“前列=后行”才能乘，结果“行乘列累加”
前提：设矩阵 \( A = (a_{ij})_{m \times s} \)（\( m \) 行 \( s \) 列），\( B = (b_{ij})_{s \times n} \)（\( s \) 行 \( n \) 列），必须满足“\( A \) 的列数 = \( B \) 的行数”（即 \( s \) 相等），否则无法相乘；结果矩阵 \( C = AB \) 的形状为 \( m \times n \)（\( A \) 的行数 × \( B \) 的列数）。
规则：结果矩阵 \( C = AB \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素 \( c_{ij} \)，等于 \( A \) 的第 \( i \) 行所有元素与 \( B \) 的第 \( j \) 列所有元素“对应相乘后求和”（行乘列累加），公式为 \( c_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... + a_{is}b_{sj} \)。
关键注意：矩阵乘法不满足交换律（即 \( AB \neq BA \)，甚至 \( BA \) 可能无法计算）；但满足结合律 \( (AB)C = A(BC) \)，分配律 \( A(B + C) = AB + AC \)。
例题7：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)），\( B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 1 \)），求 \( AB \)。
解：\( A \) 的列数=2，\( B \) 的行数=2，满足前提，结果为 \( 2 \times 1 \) 矩阵：
第1行第1列元素：\( 1 \times 5 + 2 \times 6 = 5 + 12 = 17 \)；
第2行第1列元素：\( 3 \times 5 + 4 \times 6 = 15 + 24 = 39 \)；故 \( AB = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix} \)。
例题8：判断例题7中 \( BA \) 是否可计算？
解：不可计算。因为 \( B \) 是 \( 2 \times 1 \) 矩阵（列数=1），\( A \) 是 \( 2 \times 2 \) 矩阵（行数=2），\( B \) 的列数≠\( A \) 的行数，不满足乘法前提。
例题9：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)），\( B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)），求 \( AB \) 与 \( BA \)，验证是否相等。
解：
\( AB = \begin{pmatrix} 1 \times 0 + 0 \times 0 & 1 \times 1 + 0 \times 0 \\ 0 \times 0 + 0 \times 0 & 0 \times 1 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)；
\( BA = \begin{pmatrix} 0 \times 1 + 1 \times 0 & 0 \times 0 + 1 \times 0 \\ 0 \times 1 + 0 \times 0 & 0 \times 0 + 0 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \)；
显然 \( AB \neq BA \)，验证乘法不满足交换律。
例题10：已知 \( A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \)，\( E_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)（2阶单位矩阵），求 \( AE_2 \) 与 \( E_2A \)。
解：
\( AE_2 = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + 1 \times 0 & 2 \times 0 + 1 \times 1 \\ 3 \times 1 + 2 \times 0 & 3 \times 0 + 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = A \)；
\( E_2A = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 0 \times 3 & 1 \times 1 + 0 \times 2 \\ 0 \times 2 + 1 \times 3 & 0 \times 1 + 1 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} = A \)；
结论：单位矩阵与任意同阶方阵相乘，结果仍为原矩阵（类似常数乘法中“1”的作用）。
例题11：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 3 \)），\( B = \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 10 \\ 11 & 12 \end{pmatrix} \)（\( 3 \times 2 \)），求 \( AB \)。
解：\( A \) 的列数=3，\( B \) 的行数=3，结果为 \( 2 \times 2 \) 矩阵：
第1行第1列：\( 1 \times 7 + 2 \times 9 + 3 \times 11 = 7 + 18 + 33 = 58 \)；
第1行第2列：\( 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 12 = 8 + 20 + 36 = 64 \)；
第2行第1列：\( 4 \times 7 + 5 \times 9 + 6 \times 11 = 28 + 45 + 66 = 139 \)；
第2行第2列：\( 4 \times 8 + 5 \times 10 + 6 \times 12 = 32 + 50 + 72 = 154 \)；
故 \( AB = \begin{pmatrix} 58 & 64 \\ 139 & 154 \end{pmatrix} \)。
例题12：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \)，\( C = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \)，求 \( A(B + C) \) 与 \( AB + AC \)，验证分配律。
解：
先算 \( B + C = \begin{pmatrix} 2+1 & 0+2 \\ 1+(-1) & -1+0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \)，则 \( A(B + C) = \begin{pmatrix} 1 \times 3 + (-1) \times 0 & 1 \times 2 + (-1) \times (-1) \\ 2 \times 3 + 3 \times 0 & 2 \times 2 + 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \)；
再算 \( AB = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + (-1) \times 1 & 1 \times 0 + (-1) \times (-1) \\ 2 \times 2 + 3 \times 1 & 2 \times 0 + 3 \times (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} \)；
\( AC = \begin{pmatrix} 1 \times 1 + (-1) \times (-1) & 1 \times 2 + (-1) \times 0 \\ 2 \times 1 + 3 \times (-1) & 2 \times 2 + 3 \times 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} \)；
则 \( AB + AC = \begin{pmatrix} 1+2 & 1+2 \\ 7+(-1) & -3+4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 6 & 1 \end{pmatrix} \)；
两者相等，验证分配律成立。
三、矩阵的转置：行变列、列变行
1. 定义
将矩阵 \( A = (a_{ij})_{m \times n} \) 的“行”与“列”互换，即第1行变第1列、第2行变第2列……第 \( m \) 行变第 \( m \) 列，得到的新矩阵称为 \( A \) 的转置矩阵，记为 \( A^T \)（或 \( A' \)）。转置后矩阵的形状为 \( n \times m \)，且满足 \( (A^T)_{ij} = A_{ji} \)（即 \( A^T \) 的第 \( i \) 行第 \( j \) 列元素 = \( A \) 的第 \( j \) 行第 \( i \) 列元素）。
2. 核心性质
性质1：\( (A^T)^T = A \)（转置两次回到原矩阵）；
性质2：\( (A + B)^T = A^T + B^T \)（和的转置 = 转置的和）；
性质3：\( (kA)^T = kA^T \)（数乘的转置 = 数乘转置，常数 \( k \) 不变）；
性质4：\( (AB)^T = B^T A^T \)（乘积的转置 = 转置的反向乘积，核心性质，顺序必须颠倒）。
例题13：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 3 \)），求 \( A^T \)。
解：将 \( A \) 的第1行变第1列、第2行变第2列，得 \( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix} \)（\( 3 \times 2 \) 矩阵）。
例题14：已知 \( B = (1, 2, 3) \)（\( 1 \times 3 \) 行矩阵），求 \( B^T \) 与 \( (B^T)^T \)。
解：\( B^T = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)（\( 3 \times 1 \) 列矩阵）；再转置一次，\( (B^T)^T = (1, 2, 3) = B \)，验证性质1。
例题15：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \)，求 \( (A + B)^T \) 与 \( A^T + B^T \)，验证性质2。
解：
\( A + B = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix} \)，故 \( (A + B)^T = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \)；
\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B^T = \begin{pmatrix} 5 & 7 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \)，故 \( A^T + B^T = \begin{pmatrix} 1+5 & 3+7 \\ 2+6 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ 8 & 12 \end{pmatrix} \)；
两者相等，验证性质2。
例题16：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，常数 \( k = 2 \)，求 \( (kA)^T \) 与 \( kA^T \)，验证性质3。
解：
\( kA = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 6 & 8 \end{pmatrix} \)，故 \( (kA)^T = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \)；
\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)，故 \( kA^T = 2 \times \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} \)；
两者相等，验证性质3。
例题17：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)），\( B = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 1 \)），求 \( (AB)^T \) 与 \( B^T A^T \)，验证性质4。
解：
先算 \( AB = \begin{pmatrix} 17 \\ 39 \end{pmatrix} \)（见例题7），故 \( (AB)^T = (17, 39) \)（\( 1 \times 2 \) 矩阵）；
再算 \( B^T = (5, 6) \)（\( 1 \times 2 \)），\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)（\( 2 \times 2 \)），则 \( B^T A^T = (5 \times 1 + 6 \times 2, 5 \times 3 + 6 \times 4) = (5 + 12, 15 + 24) = (17, 39) \)；
两者相等，验证性质4（注意：若直接算 \( A^T B^T \)，\( A^T \) 是 \( 2 \times 2 \)，\( B^T \) 是 \( 1 \times 2 \)，无法相乘，进一步说明转置乘积需“反向”）。
例题18：已知 \( A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 3 & 5 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -3 & 0 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \)，求 \( (AB)^T \) 与 \( B^T A^T \)。
解：
先算 \( AB = \begin{pmatrix} 2 \times 1 + (-1) \times (-3) + 0 \times 4 & 2 \times 2 + (-1) \times 0 + 0 \times 1 \\ 3 \times 1 + 5 \times (-3) + 4 \times 4 & 3 \times 2 + 5 \times 0 + 4 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \)，故 \( (AB)^T = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \)；
再算 \( B^T = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)，\( A^T = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 5 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \)，则 \( B^T A^T = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + (-3) \times (-1) + 4 \times 0 & 1 \times 3 + (-3) \times 5 + 4 \times 4 \\ 2 \times 2 + 0 \times (-1) + 1 \times 0 & 2 \times 3 + 0 \times 5 + 1 \times 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 10 \end{pmatrix} \)；
两者相等，再次验证性质4。
例题19：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，求 \( (A^T)^T \)。
解：\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \)，则 \( (A^T)^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = A \)，验证性质1。
例题20：已知 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)，\( k = -2 \)，求 \( (kA)^T \) 与 \( kA^T \)。
解：
\( kA = -2 \times \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 2 \\ -4 & -2 & -6 \end{pmatrix} \)，故 \( (kA)^T = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 0 & -2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} \)；
\( A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} \)，故 \( kA^T = -2 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 \\ 0 & -2 \\ 2 & -6 \end{pmatrix} \)；
两者相等，验证性质3。
