二阶、三阶、n阶行列式
一、二阶行列式
对于由2×2矩阵 \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} \) 定义的二阶行列式，其表达式为：
\( \det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)
对角线法则：主对角线（从左上到右下）元素乘积减去副对角线（从右上到左下）元素乘积。
二阶行列式的几何意义是平面直角坐标系中，由行列式的行（或列）向量构成的平行四边形的面积。
基础定义：向量与平行四边形面积的关联
设平面直角坐标系中两个非零向量 \( \vec{\alpha} = (a_{11}, a_{12}) \) 和 \( \vec{\beta} = (a_{21}, a_{22}) \)，以这两个向量为邻边作平行四边形。
根据二阶行列式的定义：\( \det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)
该行列式的值恰好等于这个平行四边形的有向面积——“有向”意味着面积不仅有大小，还带有正负符号，符号由向量的位置关系决定。
符号的几何含义：向量的旋转方向
行列式的正负号对应向量 \( \vec{\alpha} \) 到 \( \vec{\beta} \) 的旋转方向：
正号：当 \( \vec{\alpha} \) 绕原点逆时针旋转小于180°可得到 \( \vec{\beta} \) 时，行列式值为正，此时平行四边形的面积取“正方向”。
负号：当 \( \vec{\alpha} \) 绕原点顺时针旋转小于180°可得到 \( \vec{\beta} \) 时，行列式值为负，此时面积取“负方向”。
零值：当 \( \vec{\alpha} \) 与 \( \vec{\beta} \) 共线（平行或反向平行）时，平行四边形退化为一条线段，面积为0，对应行列式值为0（这也印证了“若行列式两行/列成比例，则行列式为0”的性质）。
特殊情况的几何验证
坐标轴方向向量：若 \( \vec{\alpha} = (a, 0) \)（沿x轴），\( \vec{\beta} = (0, b) \)（沿y轴），则行列式 \( \begin{vmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{vmatrix} = ab \)，恰好是矩形（特殊的平行四边形）的面积，符号由a、b的正负决定（如a>0、b>0时为正）。
单位向量与夹角：设 \( \vec{\alpha} \) 的模为 \( |\vec{\alpha}| \)，\( \vec{\beta} \) 的模为 \( |\vec{\beta}| \)，两向量夹角为 \( \theta \)（0≤θ≤180°）。根据向量叉乘的几何意义，平行四边形面积为 \( |\vec{\alpha}| \cdot |\vec{\beta}| \cdot \sin\theta \)。而二阶行列式的绝对值 \( |a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}| \) 恰好等于该面积（因为向量叉乘在平面内的大小就是此表达式），行列式的符号对应 \( \sin\theta \) 的符号（θ在0°到180°时sinθ非负，符号由向量旋转方向补充判定）。
延伸应用：三角形面积与线性变换
三角形面积：以 \( \vec{\alpha} \) 和 \( \vec{\beta} \) 为邻边的三角形面积，是对应平行四边形面积的一半，即 \( \frac{1}{2}|\det(A)| \)。
例如，三点 \( O(0,0) \)、\( P(a_{11}, a_{12}) \)、\( Q(a_{21}, a_{22}) \) 构成的三角形面积为 \( \frac{1}{2}|a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}| \)。
线性变换的伸缩因子：二阶矩阵可表示平面上的线性变换，行列式的绝对值表示该变换对平面图形面积的伸缩倍数。
例如，矩阵 \( \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \) 对应的变换将图形面积放大为原来的 \( |2×3 - 0×0| = 6 \) 倍；若行列式为负，还表示变换包含反射（翻转）操作。
示例验证
例：向量 \( \vec{\alpha} = (1, 2) \)，\( \vec{\beta} = (3, 4) \)，对应的二阶行列式为 \( \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 1×4 - 2×3 = -2 \)。几何意义：以 \( \vec{\alpha} \) 和 \( \vec{\beta} \) 为邻边的平行四边形面积为2，且 \( \vec{\alpha} \) 顺时针旋转小于180°可得到 \( \vec{\beta} \)，因此行列式值为负。
二、三阶行列式
对于3×3矩阵 \( A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \)，其行列式有两种常用计算方法：
对角线法则（萨鲁斯法则）：将矩阵的前两列复制到矩阵右侧，形成5列元素。主对角线方向（共3条）的元素乘积之和减去副对角线方向（共3条）的元素乘积之和，即：
\( \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{12}a_{21}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} \)
按行（列）展开法则：选择任意一行（或列），将该行（列）每个元素与其对应的代数余子式相乘后求和。
对于第i行第j列元素 \( a_{ij} \)，其代数余子式 \( A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)，其中 \( M_{ij} \) 是去掉第i行第j列后剩余元素构成的2阶行列式（余子式）。
例如按第一行展开：\( \det(A) = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13} \)
三阶行列式的核心几何意义是：由行列式的三个行向量（或列向量）作为邻棱构成的空间平行六面体的有向体积。这是二阶行列式“平行四边形有向面积”在三维空间中的自然推广：
基础关联：向量与平行六面体体积的对应
设空间直角坐标系中三个非零向量 \( \vec{\alpha} = (a_{11}, a_{12}, a_{13}) \)、\( \vec{\beta} = (a_{21}, a_{22}, a_{23}) \)、\( \vec{\gamma} = (a_{31}, a_{32}, a_{33}) \)，以这三个向量为邻棱作平行六面体。对应三阶行列式：
\( \det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \)
该行列式的值与平行六面体的体积存在严格对应关系：行列式的绝对值等于平行六面体的体积，符号则反映向量组的定向性质。
符号的几何含义：向量组的右手定则定向
三阶行列式的正负号由三个向量的空间定向决定，遵循右手定则：
正号：将右手四指从 \( \vec{\alpha} \) 绕原点逆时针旋转（小于180°）至 \( \vec{\beta} \)，此时大拇指指向与 \( \vec{\gamma} \) 同向（或夹角小于90°），向量组为“右手系”，行列式值为正。
负号：按上述旋转方式，大拇指指向与 \( \vec{\gamma} \) 反向（或夹角大于90°），向量组为“左手系”，行列式值为负。
零值：当三个向量共面（线性相关）时，平行六面体退化为平面图形（体积为0），对应行列式值为0。这印证了行列式性质：“若三行/列线性相关（成比例或共面），行列式值为0”。
特殊情况的几何验证
坐标轴方向向量：若 \( \vec{\alpha} = (a, 0, 0) \)（沿x轴）、\( \vec{\beta} = (0, b, 0) \)（沿y轴）、\( \vec{\gamma} = (0, 0, c) \)（沿z轴），行列式为对角行列式，值为 \( abc \)，恰好是长方体（特殊的平行六面体）的体积，符号由a、b、c的正负组合决定（如a,b,c均为正，行列式为正）。
向量叉乘与点乘的关联：根据向量运算性质，平行六面体的体积等于底面积乘以高。以 \( \vec{\alpha} \) 和 \( \vec{\beta} \) 为底面的平行四边形面积为 \( |\vec{\alpha} \times \vec{\beta}| \)，高为 \( \vec{\gamma} \) 在叉乘向量 \( \vec{\alpha} \times \vec{\beta} \) 方向上的投影绝对值 \( |\vec{\gamma} \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta})| \)。而三阶行列式的值恰好等于混合积 \( \vec{\gamma} \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \)，即 \( \det(A) = \vec{\alpha} \cdot (\vec{\beta} \times \vec{\gamma}) = \vec{\beta} \cdot (\vec{\gamma} \times \vec{\alpha}) = \vec{\gamma} \cdot (\vec{\alpha} \times \vec{\beta}) \)，进一步验证了行列式与体积的对应关系。
延伸应用：多面体体积与线性变换
四面体体积：以 \( \vec{\alpha} \)、\( \vec{\beta} \)、\( \vec{\gamma} \) 为邻棱的四面体体积，是对应平行六面体体积的1/6，即 \( \frac{1}{6}|\det(A)| \)。例如，四点 \( O(0,0,0) \)、\( P(a_{11}, a_{12}, a_{13}) \)、\( Q(a_{21}, a_{22}, a_{23}) \)、\( R(a_{31}, a_{32}, a_{33}) \) 构成的四面体体积为 \( \frac{1}{6}|\det(A)| \)。
线性变换的体积伸缩因子：三阶矩阵可表示空间中的线性变换，行列式的绝对值表示该变换对空间图形体积的伸缩倍数。例如，矩阵 \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \) 对应的变换将图形体积放大为原来的 \( |2×3×4| = 24 \) 倍；若行列式为负，还表示变换包含空间反射（镜像翻转）操作。
示例验证
例：向量 \( \vec{\alpha} = (1, 0, 0) \)、\( \vec{\beta} = (0, 1, 0) \)、\( \vec{\gamma} = (0, 0, 1) \)（单位正交基），对应的三阶行列式为 \( \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \)。几何意义：以单位向量为邻棱的正方体（特殊平行六面体）体积为1，且向量组为右手系，行列式值为正。
另一例：向量 \( \vec{\alpha} = (1, 2, 3) \)、\( \vec{\beta} = (4, 5, 6) \)、\( \vec{\gamma} = (7, 8, 9) \)，行列式值为0。几何意义：三个向量共面（可验证 \( \vec{\gamma} = 2\vec{\beta} - \vec{\alpha} \)，线性相关），构成的平行六面体体积为0，退化为平面图形。
三、n阶行列式（n≥2）
n阶行列式是对二阶、三阶行列式的推广，基于递归定义和按行（列）展开法则：
递归定义：当n=2时，按二阶行列式规则计算；当n>2时，按任意一行（列）展开，转化为n个n-1阶行列式的线性组合，即：
\( \det(A) = \sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} \quad (\text{按第i行展开}) \)
\( \det(A) = \sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij} \quad (\text{按第j列展开}) \)
特殊n阶行列式：
1. 上三角行列式（主对角线下方元素全为0）和下三角行列式（主对角线上方元素全为0）：值等于主对角线所有元素的乘积，即 \( \det(A) = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} \)。
2. 对角行列式（仅主对角线元素非零）：值同样等于主对角线元素的乘积。
3. 反对称行列式（满足 \( a_{ij} = -a_{ji} \)）：当n为奇数时，行列式值为0。
四、行列式的性质
性质1：行列式与它的转置行列式相等（转置不变性）：将行列式的行与列互换（第1行变第1列，第2行变第2列，第3行变第3列），得到的新行列式称为“转置行列式”，记为 \( |A^T| \)，且 \( |A| = |A^T| \)。
例子：设 \( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)，则其转置行列式 \( |A^T| = \begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} \)。
计算得：\( |A| = 0 \)，\( |A^T| = 0 \)，两者相等。
意义：行列式中“行”的所有性质，对“列”同样成立（后续性质不再重复列的情况）。
性质2：交换行列式的两行，行列式变号（行交换反号）：若交换行列式的第 \( i \) 行和第 \( j \) 行（记为 \( r_i \leftrightarrow r_j \)），则新行列式 \( |A'| = -|A| \)。
例子：交换 \( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \) 的第1行和第2行，得 \( |A'| = \begin{vmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)。
计算得：\( |A| = 0 \)，\( |A'| = 0 \)（特殊情况，因原行列式两行成比例）；换一个非零行列式，如 \( |B| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \)，交换第1、2行后 \( |B'| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \)，明显变号。
推论：若行列式有两行完全相同，则行列式的值为0（交换相同的两行，行列式既变号又不变，只能是0）。
性质3：行列式的某一行中所有元素都乘以同一数 \( k \)，等于用 \( k \) 乘此行列式（数乘可提）：若将第 \( i \) 行所有元素乘以 \( k \)（记为 \( r_i \times k \)），则新行列式 \( |A'| = k \times |A| \)（注意：是“某一行”乘 \( k \)，不是所有元素都乘 \( k \)）。
例子：设 \( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0 \)，将第1行乘2得 \( |A'| = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)，计算得 \( |A'| = 0 = 2 \times 0 = 2|A| \)；
再用非零行列式验证：\( |B| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2 \)（二阶也适用），第1行乘3得 \( |B'| = \begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -6 = 3 \times (-2) = 3|B| \)。
推论：行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。
性质4：行列式中如果有两行元素成比例，则此行列式等于0（成比例为零）：若第 \( i \) 行元素是第 \( j \) 行元素的 \( k \) 倍（即 \( r_i = k \times r_j \)），则 \( |A| = 0 \)。
例子：\( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \) 中，第2行是第1行的2倍（成比例），计算得 \( |A| = 1 \times 4 \times 9 + 2 \times 6 \times 7 + 3 \times 2 \times 8 - 3 \times 4 \times 7 - 2 \times 2 \times 9 - 1 \times 6 \times 8 = 0 \)。
原理：由性质3可推导——将成比例的行的公因子 \( k \) 提出后，行列式出现两行完全相同，再由性质2的推论得行列式为0。
性质5：若行列式的某一行元素都是两数之和，则此行列式可拆分为两个行列式之和（分行相加性）：若第 \( i \) 行元素为 \( (a_{i1}+b_{i1}, a_{i2}+b_{i2}, a_{i3}+b_{i3}) \)，则行列式可拆分为“第 \( i \) 行为 \( (a_{i1},a_{i2},a_{i3}) \) 的行列式”与“第 \( i \) 行为 \( (b_{i1},b_{i2},b_{i3}) \) 的行列式”之和，其他行保持不变。
例子：设 \( |A| = \begin{vmatrix} 1+2 & 2+3 & 3+4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 5 & 7 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = -3 \)；
拆分后：\( |A_1| + |A_2| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} = 0 + (-3) = -3 \)，与 \( |A| \) 相等。
注意：只能拆分“某一行”，不能同时拆分多行或行列混合拆分。
性质6：把行列式的某一行的各元素乘以同一数后加到另一行对应的元素上去，行列式不变（行加不变）：将第 \( i \) 行乘 \( k \) 后加到第 \( j \) 行（记为 \( r_j + k \times r_i \)），则新行列式 \( |A'| = |A| \)（这是计算行列式的核心性质，用于化为上三角/下三角行列式）。
例子：对 \( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)，执行 \( r_2 - 4r_1 \)（第1行乘-4加到第2行）、\( r_3 - 7r_1 \)，得 \( |A'| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{vmatrix} \)，计算得 \( |A'| = 0 = |A| \)。
原理：由性质5和性质4推导——拆分后会出现一个“有两行成比例”的行列式（值为0），最终结果与原行列式相等。
性质7：行列式的展开定理（按行/列展开）：三阶行列式等于它的任一行（或列）的各元素与其对应的“代数余子式”乘积之和（代数余子式：\( A_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij} \)，其中 \( M_{ij} \) 是去掉第 \( i \) 行第 \( j \) 列后剩余元素构成的二阶行列式，称为“余子式”）。
例子：按 \( |A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \) 的第1行展开：\( |A| = 1 \times A_{11} + 2 \times A_{12} + 3 \times A_{13} \)，其中 ：
\( A_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 5 & 6 \\ 8 & 9 \end{vmatrix} = 45-48=-3 \)，
\( A_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 4 & 6 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = -(36-42)=6 \)，
\( A_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 7 & 8 \end{vmatrix} = 32-35=-3 \)，
代入得：\( |A| = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = -3+12-9=0 \)，与直接计算结果一致。
意义：将三阶行列式转化为二阶行列式计算，是“降阶法”的基础。
性质的核心应用：快速计算三阶行列式
利用性质6（行加不变）可将三阶行列式化为“上三角行列式”（主对角线下方元素全为0），上三角行列式的值等于主对角线元素的乘积，计算极快。
例子：计算 \( |C| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 3 & 4 & -2 \\ 5 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)
1. 执行 \( r_2 - \frac{3}{2}r_1 \)（消去第2行第1列元素）：\( r_2 = r_2 - 1.5r_1 \)，得 \( \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 5.5 & -3.5 \\ 5 & -2 & 1 \end{vmatrix} \)；
2. 执行 \( r_3 - \frac{5}{2}r_1 \)（消去第3行第1列元素）：\( r_3 = r_3 - 2.5r_1 \)，得 \( \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 5.5 & -3.5 \\ 0 & 0.5 & -1.5 \end{vmatrix} \)；
3. 执行 \( r_3 - \frac{0.5}{5.5}r_2 \)（消去第3行第2列元素），得上三角行列式 \( \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 5.5 & -3.5 \\ 0 & 0 & -\frac{14}{11} \end{vmatrix} \)；
4. 计算主对角线乘积：\( 2 \times 5.5 \times (-\frac{14}{11}) = -14 \)，即 \( |C| = -14 \)。
例题1：计算二阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} \)
解析：
直接应用二阶行列式对角线法则，\( D = 3×4 - (-2)×5 = 12 + 10 = 22 \)。
例题2：计算二阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} \sin x & \cos x \\ -\cos x & \sin x \end{vmatrix} \)
解析：
对角线法则展开，\( D = \sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot (-\cos x) = \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)（利用三角函数平方和公式）。
例题3：已知二阶行列式 \( \begin{vmatrix} x & 2 \\ 1 & x \end{vmatrix} = 3 \)，求x的值
解析：
展开左边得 \( x^2 - 2×1 = x^2 - 2 \)，令其等于3，即 \( x^2 = 5 \)，解得 \( x = \sqrt{5} \) 或 \( x = -\sqrt{5} \)。
例题4：用对角线法则计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} \)
解析：
按对角线法则展开，主对角线方向和为 \( 1×5×9 + 2×6×7 + 3×4×8 = 45 + 84 + 96 = 225 \)；副对角线方向和为 \( 3×5×7 + 2×4×9 + 1×6×8 = 105 + 72 + 48 = 225 \)，因此 \( D = 225 - 225 = 0 \)。（也可观察到第一行与第二行的差为(3,3,3)，第二行与第三行的差也为(3,3,3)，两行成比例，行列式为0）
例题5：用按行展开法则计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 4 & -2 \\ -3 & 5 & 1 \end{vmatrix} \)
解析：
选择第一行展开，计算各元素的代数余子式：
\( a_{11}=2 \)，\( A_{11}=(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 5 & 1 \end{vmatrix} = 4×1 - (-2)×5 = 14 \)
\( a_{12}=-1 \)，\( A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = -[1×1 - (-2)×(-3)] = -[1 - 6] = 5 \)
\( a_{13}=3 \)，\( A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 1×5 - 4×(-3) = 17 \)
因此 \( D = 2×14 + (-1)×5 + 3×17 = 28 - 5 + 51 = 74 \)。
例题6：计算上三角三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} \)
解析：
上三角行列式的值等于主对角线元素乘积，即 \( D = 2×1×5 = 10 \)。
例题7：计算下三角四阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & 7 & 8 & 2 \end{vmatrix} \)
解析：
下三角行列式的值等于主对角线元素乘积，即 \( D = (-1)×3×1×2 = -6 \)。
例题8：计算反对称三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 0 & a & b \\ -a & 0 & c \\ -b & -c & 0 \end{vmatrix} \)
解析：
反对称行列式满足 \( a_{ij} = -a_{ji} \)，n=3（奇数），根据二级结论，奇数阶反对称行列式值为0，因此 \( D = 0 \)。
也可直接展开验证：
\( 0×0×0 + a×c×(-b) + b×(-a)×(-c) - b×0×(-b) - a×(-a)×0 - 0×c×(-c) \)
\(= -abc + abc = 0 \)
例题9：利用倍加性质化简并计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 5 & 7 \\ 3 & 7 & 10 \end{vmatrix} \)
解析：
将第一行的-2倍加到第二行，-3倍加到第三行，行列式值不变：
\( D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2-2×1 & 5-2×2 & 7-2×3 \\ 3-3×1 & 7-3×2 & 10-3×3 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} \)
此时第二行与第三行完全相同，根据性质，行列式值为0。
例题10：计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^2 & b^2 & c^2 \end{vmatrix} \)（范德蒙行列式）
解析：
这是标准的三阶范德蒙行列式，二级结论：n阶范德蒙行列式 \( V_n = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \dots & 1 \\ x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n} (x_i - x_j) \)。因此三阶范德蒙行列式值为 \( (b - a)(c - a)(c - b) \)。
例题11：计算四阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 & 0 \\ 4 & 5 & 1 & 0 \\ 6 & 7 & 8 & 4 \end{vmatrix} \)
解析：
该行列式为下三角行列式，值等于主对角线元素乘积，即 \( D = 2×3×1×4 = 24 \)。
例题12：已知矩阵 \( A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \)，\( B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \)，求 \( \det(AB) \)
解析：
方法一：先计算AB，\( AB = \begin{pmatrix} 1×(-1)+2×1 & 1×0+2×2 \\ 3×(-1)+4×1 & 3×0+4×2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} \)，则 \( \det(AB) = 1×8 - 4×1 = 4 \)。方法二：利用乘积法则，\( \det(A) = 1×4 - 2×3 = -2 \)，\( \det(B) = (-1)×2 - 0×1 = -2 \)，因此 \( \det(AB) = (-2)×(-2) = 4 \)。
例题13：计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 5 & -2 & 7 \\ 3 & 4 & 2 \end{vmatrix} \)，用倍加性质转化为三角行列式
解析：
第一步，将第一行的-5/3倍加到第二行，-1倍加到第三行，消去第二、三行的第一个元素：
\( D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -2 - 5/3 & 7 + 10/3 \\ 0 & 4 - 1 & 2 + 2 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -11/3 & 31/3 \\ 0 & 3 & 4 \end{vmatrix} \)
第二步，将第二行的 \( 3×3/(-11) = -9/11 \) 倍加到第三行，消去第三行的第二个元素：
\( D = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -11/3 & 31/3 \\ 0 & 0 & 4 + (9/11)×(31/3) \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ 0 & -11/3 & 31/3 \\ 0 & 0 & 83/11 \end{vmatrix} \)
三角行列式值为对角线元素乘积：\( 3×(-11/3)×(83/11) = -83 \)。
例题14：已知n阶矩阵A的行列式 \( \det(A) = 2 \)，求 \( \det(2A^{-1}) \)
解析：
利用二级结论，\( \det(kA) = k^n\det(A) \) 和 \( \det(A^{-1}) = 1/\det(A) \)，因此 \( \det(2A^{-1}) = 2^n \cdot \det(A^{-1}) = 2^n \cdot (1/2) = 2^{n-1} \)。
例题15：计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ a + k & b + k & c + k \\ a + m & b + m & c + m \end{vmatrix} \)
解析：
将第一行的-1倍分别加到第二行和第三行，行列式值不变：
\( D = \begin{vmatrix} a & b & c \\ k & k & k \\ m & m & m \end{vmatrix} \)
此时第二行与第三行对应元素成比例（比例系数为k/m），根据性质，行列式值为0。
例题16：计算四阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)
解析：
该行列式各行元素之和相等，先将第二、三、四列都加到第一列：
\( D = \begin{vmatrix} 10 & 2 & 3 & 4 \\ 10 & 3 & 4 & 1 \\ 10 & 4 & 1 & 2 \\ 10 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 10×\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 3 & 4 & 1 \\ 1 & 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} \)
再将第一行的-1倍分别加到第二、三、四行：
\( D = 10×\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & -3 \\ 0 & 2 & -2 & -2 \\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10×1×\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & -2 \\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} \)
对三阶行列式，将第一行的-2倍加到第二行，1倍加到第三行：
\( \begin{vmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & -4 \end{vmatrix} = 1×(-4)×(-4) = 16 \)
因此 \( D = 10×16 = 160 \)。
例题17：计算二阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} \log_a b & 1 \\ 1 & \log_b a \end{vmatrix} \)（a>0,a≠1,b>0,b≠1）
解析：
利用对数换底公式，\( \log_b a = 1/\log_a b \)，设 \( t = \log_a b \)，则 \( D = t \cdot (1/t) - 1×1 = 1 - 1 = 0 \)。
例题18：计算三阶行列式 \( D = \begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 4 \end{vmatrix} \)，按第三列展开
解析：
第三列元素为2,1,4，对应的代数余子式：
\( A_{13}=(-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 3×1 - 2×0 = 3 \)
\( A_{23}=(-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -[1×1 - (-1)×0] = -1 \)
\( A_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 1×2 - (-1)×3 = 5 \)
因此 \( D = 2×3 + 1×(-1) + 4×5 = 6 - 1 + 20 = 25 \)。
例题19：已知行列式 \( \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ x & y & z \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 2 \)，求 \( \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} \) 的值
解析：
设原行列式为D1，目标行列式为D2。将D1的第一行和第二行交换，得到 \( \begin{vmatrix} x & y & z \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -D1 = -2 \)。再将该行列式的第二行乘以2，得到 \( \begin{vmatrix} x & y & z \\ 2 & 4 & 6 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = 2×(-2) = -4 \)，即D2 = -4。
例题20：计算n阶行列式 \( D_n = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & a & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & a & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & a \end{vmatrix} \)
解析：
该行列式各行元素之和相等，先将所有列加到第一列：
\( D_n = \begin{vmatrix} a + n - 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ a + n - 1 & a & 1 & \dots & 1 \\ a + n - 1 & 1 & a & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a + n - 1 & 1 & 1 & \dots & a \end{vmatrix} = (a + n - 1)×\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & a & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 1 & a & \dots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \dots & a \end{vmatrix} \)
再将第一行的-1倍分别加到其余各行，转化为上三角行列式：
\( D_n = (a + n - 1)×\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 0 & a - 1 & 0 & \dots & 0 \\ 0 & 0 & a - 1 & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & a - 1 \end{vmatrix} \)
上三角行列式值为对角线元素乘积，即 \( (a + n - 1)(a - 1)^{n - 1} \)。
