1. 座位安排问题

例1：一个教室有\(5\)排座位，每排有\(6\)个座位。现在要安排\(20\)名学生就座，要求同一排至少有\(3\)名学生。

先使用乘法原理计算总座位数为\(5×6 = 30\)个。再用减法原理，计算不符合要求（即有一排或多排座位少于\(3\)名学生）的情况。假设先安排每排\(2\)名学生，共安排了\(5×2 = 10\)名学生，还剩下\(20 - 10 = 10\)名学生。这\(10\)名学生要分配到\(5\)排座位中，使用加法原理分情况讨论：把\(10\)名学生分成\((3,3,2,1,1)\)、\((3,2,3,1,1)\)等多种组合（不同组合是分类，用加法原理），每种组合内部分配到不同排（分步，用乘法原理），最后用减法原理从总座位安排情况数（\(30\)选\(20\)的组合数，这里不详细计算）中减去不符合要求的情况数，得到符合要求的安排方式数。

2. 数字组合问题

例2：从\(1 - 9\)这\(9\)个数字中选\(4\)个数字组成一个四位数，要求千位数字不能是\(1\)，且各位数字之和为偶数。

先使用乘法原理，千位数字有\(8\)种选择（除\(1\)外的\(8\)个数字），百位数字有\(8\)种选择（\(9\)个数字去掉千位选的那个），十位数字有\(7\)种选择，个位数字有\(6\)种选择，总共初步有\(8×8×7×6\)种组合。再用减法原理，减去各位数字之和为奇数的情况。先根据加法原理分情况讨论各位数字的奇偶性组合（如三奇一偶、一奇三偶），每种情况内部用乘法原理计算数字组合数，最后相减得到各位数字之和为偶数的四位数个数。

3. 密码设置问题

例3：一个密码是由\(6\)位数字和字母组成，其中数字有\(0 - 9\)共\(10\)个，字母有\(a - z\)共\(26\)个。要求密码的前两位至少有一个是数字。

先使用乘法原理计算所有可能的\(6\)位密码组合数为\((10 + 26)^6\)种。然后用减法原理，计算前两位都是字母的情况数为\(26×26×(10 + 26)^4\)种。最后用减法得到符合要求的密码数为\((10 + 26)^6-26×26×(10 + 26)^4\)。

4. 活动分组问题

例4：有\(50\)人参加活动，要分成\(4\)组，每组人数分别为\(10\)、\(12\)、\(14\)、\(14\)。

先使用除法原理计算分组的基本方式，假设先把\(50\)人看作相同元素，那么分成\(10\)、\(12\)、\(14\)、\(14\)人的分组方式数（不考虑组的顺序）为\(\frac{50!}{10!×12!×14!×14!}\)（这是根据组合数的推广形式）。但实际上人是不同的，对于每种分组人数组合，再使用乘法原理计算不同人的排列方式，即对\(10\)人的组有\(10!\)种排列，\(12\)人的组有\(12!\)种排列，\(14\)人的两组分别有\(14!\)种排列，所以总的分组方式还要乘以\(10!×12!×14!×14!\)。同时，对于有两个\(14\)人组的情况，存在重复计算（这两组交换顺序是一样的分组），所以要使用除法原理除以\(2\)来消除重复，得到最终的分组方式数。

5. 服装搭配问题

例5：有\(5\)件上衣，\(4\)条裤子，\(3\)双鞋子。要求搭配的服装中上衣不能是红色，裤子不能是蓝色。

先使用乘法原理计算总的搭配数为\(5×4×3 = 60\)种。再用减法原理，计算上衣是红色的搭配数为\(1×4×3 = 12\)种，裤子是蓝色的搭配数为\(5×1×3 = 15\)种，上衣是红色且裤子是蓝色的搭配数为\(1×1×3 = 3\)种。最后用加法原理计算不符合要求的搭配数为\(12 + 15 - 3 = 24\)种（这里减去\(3\)是因为上衣是红色且裤子是蓝色的情况被重复计算了），再用减法原理得到符合要求的搭配数为\(60 - 24 = 36\)种。

6. 图书摆放问题

例6：图书馆有\(3\)个书架，第一个书架有\(10\)本不同的小说，第二个书架有\(8\)本不同的传记，第三个书架有\(6\)本不同的科普书。现在要从这些书中选\(5\)本，要求至少从每个书架选\(1\)本。

先使用加法原理分情况讨论，如从小说书架选\(1\)本、传记书架选\(1\)本、科普书架选\(3\)本；小说书架选\(2\)本、传记书架选\(1\)本、科普书架选\(2\)本等多种情况。每种情况内部使用乘法原理计算选法数，如第一种情况：从\(10\)本小说中选\(1\)本有\(10\)种选法，从\(8\)本传记中选\(1\)本有\(8\)种选法，从\(6\)本科普书中选\(3\)本有\(\frac{6!}{3!(6 - 3)!}\)种选法，这种情况总的选法数为\(10×8×\frac{6!}{3!(6 - 3)!}\)。最后将所有情况相加得到符合要求的选书方式数。

7. 人员分配问题

例7：公司有\(100\)名员工，要分配到\(A\)、\(B\)、\(C\)三个部门，\(A\)部门至少要\(30\)人，\(B\)部门至少要\(20\)人，\(C\)部门至少要\(15\)人。

先使用减法原理，先不考虑各部门的最少人数要求，总的分配方式数（假设员工是无差别的）可以用组合数的形式表示为\(\frac{100!}{x!(100 - x)!}\)（这里\(x\)表示分配到\(A\)部门的人数，通过对\(x\)从\(0\)到\(100\)的求和来计算总方式数，这里不详细计算）。然后用减法原理减去不符合要求的情况，如\(A\)部门人数少于\(30\)的情况、\(B\)部门人数少于\(20\)的情况、\(C\)部门人数少于\(15\)的情况。对于这些不符合要求的情况，同样使用加法原理分情况讨论（如\(A\)部门\(0 - 29\)人等不同情况），每种情况内部用乘法原理计算分配方式数，最后相减得到符合要求的分配方式数。

8. 路线规划问题

例8：在一个城市中，从\(A\)点到\(B\)点有\(3\)条大路和\(2\)条小路，从\(B\)点到\(C\)点有\(4\)条街道和\(1\)条胡同。其中有\(1\)条大路和\(1\)条街道正在维修不能通行。

先使用乘法原理计算正常情况下从\(A\)经\(B\)到\(C\)的路线数为\((3 + 2)×(4 + 1)=25\)条。然后用减法原理减去经过正在维修的路的情况，经过维修大路的情况有\(1×(4 + 1) = 5\)种，经过维修街道的情况有\((3 + 2)×1 = 5\)种，同时经过维修大路和维修街道的情况有\(1×1 = 1\)种（这里用加法原理计算不符合要求的情况），最后用减法得到实际可通行的路线数为\(25-(5 + 5 - 1)=16\)条（这里减去\(5 + 5 - 1\)是因为经过维修大路和维修街道的情况被重复计算了一次）。

9. 活动安排问题

例9：学校一周有\(5\)天上课时间，要安排\(3\)门不同的课程，要求每门课程至少安排\(1\)天。

先使用加法原理分情况讨论，如课程\(A\)安排\(1\)天、课程\(B\)安排\(1\)天、课程\(C\)安排\(3\)天；课程\(A\)安排\(1\)天、课程\(B\)安排\(2\)天、课程\(C\)安排\(2\)天等多种情况。每种情况内部使用乘法原理计算安排方式，如第一种情况：先从\(5\)天中选\(1\)天安排课程\(A\)有\(5\)种选法，从剩下\(4\)天中选\(1\)天安排课程\(B\)有\(4\)种选法，剩下\(3\)天安排课程\(C\)有\(1\)种安排方式，这种情况总的安排方式数为\(5×4×1 = 20\)种。最后将所有情况相加得到符合要求的课程安排方式数。

10. 抽奖问题

例10：抽奖箱中有\(10\)个红球、\(8\)个蓝球、\(6\)个绿球。抽奖规则是每次抽\(3\)个球，要求至少有一个红球。

先使用乘法原理计算从所有球中抽\(3\)个球的总组合数为\(\frac{(10 + 8 + 6)!}{3!(10 + 8 + 6 - 3)!}\)种。再用减法原理，计算没有红球的情况数为\(\frac{(8 + 6)!}{3!(8 + 6 - 3)!}\)种。最后用减法得到符合要求（至少有一个红球）的抽奖结果数为\(\frac{(10 + 8 + 6)!}{3!(10 + 8 + 6 - 3)!}-\frac{(8 + 6)!}{3!(8 + 6 - 3)!}\)。

11. 装修材料选择问题

例11：装修房间，地面材料有\(4\)种选择，墙面材料有\(5\)种选择，天花板材料有\(3\)种选择。要求地面材料不能是木地板，墙面材料不能是白色。

先使用乘法原理计算总的选择组合数为\(4×5×3 = 60\)种。再用减法原理，计算地面是木地板的组合数为\(1×5×3 = 15\)种，墙面是白色的组合数为\(4×1×3 = 12\)种，地面是木地板且墙面是白色的组合数为\(1×1×3 = 3\)种。最后用加法原理计算不符合要求的组合数为\(15 + 12 - 3 = 24\)种（这里减去\(3\)是因为地面是木地板且墙面是白色的情况被重复计算了），再用减法原理得到符合要求的选择组合数为\(60 - 24 = 36\)种。

12. 排课问题

例12：学校要为一个班级安排一天的课程，有语文、数学、英语、物理、化学、体育\(6\)门课。一天有\(6\)节课，要求体育不能排在第一节和最后一节。

先使用乘法原理计算所有课程的排列数为\(6!\)种。再用减法原理，计算体育在第一节的排列数为\(1×5!\)种，体育在最后一节的排列数为\(1×5!\)种，体育在第一节且在最后一节的情况被重复计算了一次（实际不存在这种情况），所以不符合要求的排列数为\(2×5!\)种。最后用减法得到符合要求的排课方式数为\(6!-2×5! = 480\)种。

13. 任务分配问题

例13：有\(8\)个任务要分配给\(3\)个小组，第一组至少要分配\(2\)个任务，第二组至少要分配\(3\)个任务，第三组至少要分配\(1\)个任务。

先使用减法原理，先不考虑各小组的最少任务数要求，总的分配方式数（假设任务是无差别的）可以用组合数的形式表示为\(\frac{8!}{x!(8 - x)!}\)（这里\(x\)表示分配给第一组的任务数，通过对\(x\)从\(0\)到\(8\)的求和来计算总方式数，这里不详细计算）。然后用减法原理减去不符合要求的情况，如第一组任务数少于\(2\)的情况、第二组任务数少于\(3\)的情况。对于这些不符合要求的情况，同样使用加法原理分情况讨论（如第一组\(0 - 1\)个任务等不同情况），每种情况内部用乘法原理计算分配方式数，最后相减得到符合要求的分配方式数。

14. 礼物分配问题

例14：有\(10\)份礼物要分给\(4\)个人，要求每人至少得到\(1\)份礼物。

先使用加法原理分情况讨论，如\((1,1,1,7)\)、\((1,1,2,6)\)等不同的分配方案（不同方案是分类，用加法原理）。每种方案内部使用乘法原理计算分配方式，如对于\((1,1,1,7)\)这种方案，先从\(4\)个人中选\(1\)个人得到\(7\)份礼物有\(4\)种选法，然后将剩下\(3\)份礼物分配给剩下\(3\)个人，每人\(1\)份，有\(1\)种分配方式，所以这种方案的分配方式数为\(4×1 = 4\)种。最后将所有情况相加得到符合要求的礼物分配方式数。

15. 球队比赛问题

例15：有\(12\)支球队参加比赛，比赛分为小组赛和淘汰赛。小组赛分成\(3\)个小组，每组\(4\)支球队。

先使用除法原理计算小组赛分组方式，假设球队无差别，分组方式数为\(\frac{12!}{4!×4!×4!}\)（还要考虑分组的重复情况，这里不详细计算）。对于小组赛中每个小组的比赛场次，使用乘法原理，每支球队要和另外\(3\)支球队比赛，所以每个小组比赛场次为\(4×3÷2 = 6\)场（这里除以\(2\)是因为\(A\)队和\(B\)队比赛与\(B\)队和\(A\)队比赛是同一场比赛）。小组赛总场次为\(3×6 = 18\)场。淘汰赛每场比赛淘汰一支球队，最后决出冠军需要淘汰\(11\)支球队，所以淘汰赛场次为\(11\)场。总的比赛场次为小组赛场次和淘汰赛场次之和，即\(18 + 11 = 29\)场。

16. 数字排列问题

例16：用\(1 - 7\)这\(7\)个数字组成一个五位数，要求万位数字不能是\(1\)，个位数字不能是\(7\)，且数字不能重复。

先使用乘法原理，万位数字有\(6\)种选择（除\(1\)外的\(6\)个数字），千位数字有\(6\)种选择（\(7\)个数字去掉万位选的那个），百位数字有\(5\)种选择，十位数字有\(4\)种选择，个位数字有\(5\)种选择（除\(7\)外剩下的\(5\)个数字），总共初步有\(6×6×5×4×5\)种组合。再用减法原理，减去不符合要求的情况，比如先计算万位是\(1\)的情况，此时千位有\(6\)种选择，百位有\(5\)种选择，十位有\(4\)种选择，个位有\(3\)种选择，共有\(1×6×5×4×3\)种情况；再计算个位是\(7\)的情况，万位有\(5\)种选择（除\(1\)和\(7\)），千位有\(5\)种选择，百位有\(4\)种选择，十位有\(3\)种选择，共有\(5×5×4×3×1\)种情况；同时万位是\(1\)且个位是\(7\)的情况被重复计算了，这种情况有\(1×5×4×3×1\)种。用加法原理计算不符合要求的情况数为\((1×6×5×4×3)+(5×5×4×3×1)-(1×5×4×3×1)\)，最后用减法得到符合要求的五位数个数为\(6×6×5×4×5 - [(1×6×5×4×3)+(5×5×4×3×1)-(1×5×4×3×1)]\)。

17. 座位选择问题

例17：一个会议室有两排座位，第一排有\(6\)个座位，第二排有\(8\)个座位。现在有\(10\)个人入座，要求第一排至少坐\(3\)个人。

先使用乘法原理计算所有可能的入座方式为从\(14\)个座位选\(10\)个的组合数，即\({14 \choose 10}=\frac{14!}{10!(14 - 10)!}\)种。再用减法原理，计算第一排坐\(0\)、\(1\)、\(2\)个人的情况数。第一排坐\(0\)个人时，从第二排\(8\)个座位选\(10\)个人，这种情况是\(0\)种（因为座位不够）；第一排坐\(1\)个人时，从第一排选\(1\)个座位有\(6\)种选法，从第二排选\(9\)个座位有\({8 \choose 9}=0\)种（选法不存在，因为\(9>8\)）；第一排坐\(2\)个人时，从第一排选\(2\)个座位有\({6 \choose 2}=\frac{6!}{2!(6 - 2)!}=15\)种选法，从第二排选\(8\)个座位有\({8 \choose 8}=1\)种选法，根据乘法原理这种情况有\(15×1 = 15\)种。用加法原理得到不符合要求的情况数为\(0 + 0+15 = 15\)种。最后用减法得到符合要求的入座方式数为\(\frac{14!}{10!(14 - 10)!}-15\)。

18. 活动时间安排问题

例18：一场活动总时长为\(10\)小时，要安排\(3\)个项目，项目A至少占用\(3\)小时，项目B至少占用\(2\)小时，项目C至少占用\(1\)小时。

先使用减法原理，不考虑各项目的最少时间要求，安排方式数（假设时间是可分割的单位）可以看作是将\(10\)个单位时间分配给\(3\)个项目的组合数，用插板法计算为\({9 \choose 2}=\frac{9!}{2!(9 - 2)!}\)种。然后用减法原理减去不符合要求的情况。计算项目A少于\(3\)小时的情况，当项目A为\(0\)小时时，相当于将\(10\)小时分配给项目B和C，有\({8 \choose 1}=\frac{8!}{1!(8 - 1)!}\)种情况；当项目A为\(1\)小时时，相当于将\(9\)小时分配给项目B和C，有\({8 \choose 1}\)种情况；当项目A为\(2\)小时时，相当于将\(8\)小时分配给项目B和C，有\({7 \choose 1}=\frac{7!}{1!(7 - 1)!}\)种情况。用加法原理计算项目A少于\(3\)小时的情况数为\(({8 \choose 1}+{8 \choose 1}+{7 \choose 1})\)种。同理计算项目B少于\(2\)小时和项目C少于\(1\)小时的情况，同时要注意重复情况（例如A和B同时不符合要求的情况可能被重复计算），最后用减法得到符合要求的活动时间安排方式数。

19. 奖品分配问题

例19：有\(5\)种不同的奖品，要分配给\(4\)个人，要求每人至少得到\(1\)件奖品。

先使用加法原理分情况讨论，如\((1,1,1,2)\)、\((1,1,2,1)\)、\((1,2,1,1)\)、\((2,1,1,1)\)这\(4\)种分配方案（不同方案是分类，用加法原理）。对于\((1,1,1,2)\)这种方案，先从\(4\)个人中选\(1\)个人得到\(2\)件奖品有\(4\)种选法，然后从\(5\)种奖品中选\(2\)件给这个人有\({5 \choose 2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}\)种选法，剩下\(3\)件奖品分配给剩下\(3\)个人，每人\(1\)件，有\(3!\)种分配方式，所以这种方案的分配方式数为\(4×{5 \choose 2}×3!\)种。同理计算其他三种方案的分配方式数，最后用加法原理将所有情况相加得到符合要求的奖品分配方式数。

20. 车牌号码组合问题

例20：一个车牌号码由\(5\)位组成，前两位是字母（共有\(26\)个字母），后三位是数字（\(0 - 9\)共\(10\)个数字），要求车牌中至少有一个数字是\(8\)。

先使用乘法原理计算总的车牌号码组合数为\(26×26×10×10×10\)种。再用减法原理，计算没有数字\(8\)的车牌号码数，即前两位是字母有\(26×26\)种情况，后三位是除\(8\)外的\(9\)个数字的组合，有\(9×9×9\)种情况，所以没有数字\(8\)的车牌号码数为\(26×26×9×9×9\)种。最后用减法得到符合要求（至少有一个数字是\(8\)）的车牌号码数为\(26×26×10×10×10-26×26×9×9×9\)。

组合数学 - 一门研究离散对象的科学。