基本计数原理：减法原理

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一、减法原理的定义

减法原理是基本计数原理之一。如果一个事件的总数是\(n\)，其中不符合要求的事件数是\(m\)，那么符合要求的事件数就是\(n - m\)。

例如，在一个班级中有\(30\)名学生，其中有\(10\)名学生参加了数学竞赛，那么没有参加数学竞赛的学生人数就是\(30 - 10 = 20\)名。

二、应用场景

集合问题：设全集\(U\)有\(n\)个元素，集合\(A\)是\(U\)的一个子集，有\(m\)个元素，那么\(A\)在\(U\)中的补集\(\complement_{U}A\)的元素个数就是\(n - m\)。

例如，全集\(U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}\)，集合\(A = \{1,2,3,4,5\}\)，那么\(\complement_{U}A=\{6,7,8,9,10\}\)，元素个数为\(10 - 5 = 5\)。

几何图形计数：

例如，在一个长方形区域内计算满足某种条件的点的个数。假设长方形区域内总共有\(100\)个点，其中在某条曲线外的点有\(30\)个，那么在这条曲线内的点的个数就是\(100 - 30 = 70\)个。

排列组合中的应用：在计算一些排列组合问题时，减法原理也很有用。

例如，从\(10\)个数字\(0 - 9\)中选取\(4\)个数字组成四位数（千位不能为\(0\)），不考虑限制条件时，从\(10\)个数字中选\(4\)个数字的排列数是\(A_{10}^4=\frac{10!}{(10 - 4)!}=5040\)。但是千位为\(0\)的情况不符合要求，千位为\(0\)时，实际上是从剩下的\(9\)个数字中选\(3\)个数字的排列，有\(A_{9}^3=\frac{9!}{(9 - 3)!}=504\)种情况。所以符合要求的四位数的个数是\(5040-504 = 4536\)。

三、与加法原理的对比

加法原理是指如果完成一件事有\(n\)类办法，在第一类办法中有\(m_{1}\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_{2}\)种不同的方法……在第\(n\)类办法中有\(m_{n}\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(m_{1}+m_{2}+\cdots +m_{n}\)种不同的方法。例如，从甲地到乙地有\(3\)条路可走，从乙地到丙地有\(2\)条路可走，那么从甲地经乙地到丙地的走法共有\(3\times2 = 6\)种（这里是乘法原理，是加法原理的延伸，先分步骤，每步用加法原理计算）。

减法原理是从总数中排除不符合要求的部分，而加法原理是将不同类别的符合要求的方法数相加。它们都是解决计数问题的重要工具，在实际应用中需要根据具体问题的特点灵活选择使用。

四、例子

1. 集合相关例子

例1：在集合\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\)中，偶数集合\(B=\{2, 4, 6, 8, 10\}\)，那么集合\(A\)中奇数的个数为\(|A|-|B| = 10 - 5 = 5\)个。

例2：全集\(U=\{a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l\}\)，集合\(C = \{a, b, c, d, e\}\)，则\(\complement_U C\)的元素个数是\(12-5 = 7\)个。

例3：有一个集合\(M\)包含从\(1\)到\(20\)的整数，集合\(N\)是\(M\)中能被\(3\)整除的数的集合，\(N=\{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\)，那么\(M\)中不能被\(3\)整除的数的个数为\(20 - 6 = 14\)个。

2. 数字组合相关例子

例4：从\(1 - 100\)这\(100\)个自然数中，去掉个位是\(0\)的数，剩下的数有\(100-10 = 90\)个。

例5：在所有三位数（\(100 - 999\)）中，不含有数字\(7\)的数的个数。先计算所有三位数的个数是\(999 - 99 = 900\)个。含有数字\(7\)的三位数个数：百位是\(7\)的有\(100\)个；十位是\(7\)的且百位不是\(7\)的有\(8\times10 = 80\)个；个位是\(7\)的且百位和十位都不是\(7\)的有\(8\times9 = 72\)个。总共含有数字\(7\)的三位数有\(100+80 + 72=252\)个。那么不含有数字\(7\)的三位数个数是\(900 - 252 = 648\)个。

例6：从\(1 - 50\)中，减去能被\(4\)整除的数，剩下的数的个数为\(50-(50\div4) = 50 - 12 = 38\)个（这里\(50\div4\)取整数部分）。

3. 几何图形相关例子

例7：在一个边长为\(10\)的正方形区域内，有一个半径为\(3\)的圆形区域。那么正方形区域内不在圆形区域内的点的个数（假设点是均匀分布的），正方形内的点数可以近似看作面积为\(10\times10 = 100\)个单位（假设单位面积代表一个点），圆形区域内的点数近似看作面积为\(\pi\times3^2=9\pi\approx28.26\)个单位。那么正方形内不在圆形区域内的点数约为\(100 - 28.26\approx72\)个。

例8：在一个长为\(8\)，宽为\(6\)的长方形内，有一个底为\(4\)，高为\(3\)的三角形。长方形内不在三角形内的面积为\(8\times6-(4\times3\div2)=48 - 6 = 42\)，如果是计算点的个数（假设均匀分布），就可以根据单位面积对应的点数来计算不在三角形内的点数。

例9：一个棱长为\(5\)的正方体，内部有一个棱长为\(2\)的小正方体（小正方体的顶点在大正方体内部）。大正方体的体积为\(5^3 = 125\)，小正方体的体积为\(2^3 = 8\)，那么大正方体中不在小正方体内部的体积为\(125 - 8 = 117\)。