1. 加法原理

定义：如果完成一件事有\(n\)类办法，在第一类办法中有\(m_1\)种不同的方法，在第二类办法中有\(m_2\)种不同的方法……在第\(n\)类办法中有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(m_1 + m_2+\cdots+m_n\)种不同的方法。

特点：是一种分类计数的方法。各类方法之间相互独立，每一类方法都能独立完成这件事。

例如，从甲地到乙地可以坐飞机、火车或者汽车。如果坐飞机有\(3\)种航班可选，坐火车有\(4\)种车次可选，坐汽车有\(2\)种班次可选，那么从甲地到乙地的方法总数就是\(3 + 4+2 = 9\)种。这里的坐飞机、坐火车、坐汽车就是三类不同的办法，每一类办法内部的选择相互独立，且都能完成从甲地到乙地这件事。

2. 乘法原理

定义：完成一件事需要\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法……做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有\(m_1\times m_2\times\cdots\times m_n\)种不同的方法。

特点：是一种分步计数的方法。各个步骤相互依存，只有每个步骤都完成才能完成这件事。

例如，从A城市到C城市需要经过B城市。从A到B有\(3\)条路，从B到C有\(4\)条路，那么从A到C的路的总数就是\(3\times4 = 12\)条。这里从A到C这件事被分成了从A到B和从B到C两个步骤，两个步骤相互依存，缺一不可。

3. 减法原理

定义：如果一个事件的总数是\(n\)，其中不符合要求的事件数是\(m\)，那么符合要求的事件数就是\(n - m\)。

特点：是一种逆向计数的方法。它是从总数中排除不符合要求的部分来得到符合要求的部分。

例如，在一个班级中有\(30\)名学生，其中有\(10\)名学生参加了数学竞赛，那么没有参加数学竞赛的学生人数就是\(30 - 10 = 20\)名。这里先知道总人数，然后通过减去不符合“没参加数学竞赛”这个要求的人数，得到符合要求的人数。

4. 除法原理

定义：如果一个集合被划分成若干个大小相同的子集，并且知道集合的元素总数以及每个子集的元素个数，那么子集的个数等于集合元素总数除以每个子集的元素个数。

特点：主要用于解决分组或划分过程中的计数问题，是一种通过已知的总数和子集元素个数来计算子集数量的方法。

例如，有\(20\)个苹果要平均分成每堆\(4\)个，那么可以得到的堆数为\(20\div4 = 5\)堆。它可以看作是乘法原理的逆向运用，在某些分组或划分场景下，通过总数除以每组的个数来确定组数。

加法原理和乘法原理是最基本的正向计数原理，加法用于分类，乘法用于分步；

减法原理是从反面考虑问题的计数方式；

除法原理主要用于处理分组或划分问题的计数。

在实际的计数问题中，这些原理常常需要综合运用来解决复杂的情况。

组合数学 - 一门研究离散对象的科学。