基本计数原理：乘法原理
一、乘法原理的定义
乘法原理是组合数学中的重要计数原理之一。
如果完成一件事需要\(n\)个步骤，做第一步有\(m_1\)种不同的方法，做第二步有\(m_2\)种不同的方法，……，做第\(n\)步有\(m_n\)种不同的方法，那么完成这件事共有
\(N = m_1\times m_2\times\cdots\times m_n\)种不同的方法。
例如，从\(A\)地经过\(B\)地到\(C\)地。从\(A\)到\(B\)有\(3\)条路可走，从\(B\)到\(C\)有\(4\)条路可走。完成“从\(A\)地经过\(B\)地到\(C\)地”这件事需要分两步：第一步是从\(A\)到\(B\)，有\(3\)种走法；第二步是从\(B\)到\(C\)，有\(4\)种走法。根据乘法原理，从\(A\)地经过\(B\)地到\(C\)地共有\(3\times4 = 12\)种不同的走法。
二、乘法原理与排列的关系
排列问题可以用乘法原理来解决。例如，从\(n\)个不同元素中取出\(r\)个元素进行排列。对于第一个位置，可以从\(n\)个元素中任选一个，有\(n\)种选法；对于第二个位置，由于已经用掉了一个元素，所以只能从剩下的\(n - 1\)个元素中选，有\(n - 1\)种选法；以此类推，对于第\(r\)个位置，有\(n-(r - 1)\)种选法。根据乘法原理，从\(n\)个不同元素中取出\(r\)个元素的排列数\(P(n,r)=n\times(n - 1)\times\cdots\times(n - r + 1)=\frac{n!}{(n - r)!}\)。
三、乘法原理的应用条件
乘法原理要求每个步骤之间是相互依存的，即前一个步骤的每一种方法都要和后一个步骤的每一种方法搭配，才能完成整个事件。在上述从\(A\)地经\(B\)地到\(C\)地的例子中，必须先完成从\(A\)到\(B\)的一步，才能进行从\(B\)到\(C\)的下一步，而且从\(A\)到\(B\)的每一种走法都可以和从\(B\)到\(C\)的每一种走法组合，满足乘法原理的应用条件。
四、乘法原理与集合的关系
从集合的角度看，设完成一件事的\(n\)个步骤对应的集合分别为\(A_1\)，\(A_2\)，…，\(A_n\)，集合\(A_i\)中有\(m_i\)个元素。如果我们把完成这件事的所有方法看作一个新的集合\(A\)，那么集合\(A\)的元素个数\(\vert A\vert\)等于集合\(A_1\)，\(A_2\)，…，\(A_n\)的笛卡尔积\(A_1\times A_2\times\cdots\times A_n\)的元素个数，即\(\vert A\vert=m_1\times m_2\times\cdots\times m_n\)。
五、乘法原理的复杂应用示例
1. 服装搭配问题
问题：小明有3件上衣、4条裤子和2双鞋子，问小明有多少种不同的服装搭配？
解答：完成“服装搭配”这件事需要分三步。第一步选上衣，有3种方法；第二步选裤子，有4种方法；第三步选鞋子，有2种方法。根据乘法原理，总共有\(3×4×2 = 24\)种不同的服装搭配。
2. 密码设置问题
问题：一个密码由三位组成，第一位是大写英文字母（共26个），第二位是小写英文字母（共26个），第三位是数字（0 - 9共10个），问这样的密码有多少种可能？
解答：完成“设置密码”这件事需要三步。第一步选第一位大写字母，有26种方法；第二步选第二位小写字母，有26种方法；第三步选第三位数字，有10种方法。根据乘法原理，总共有\(26×26×10 = 6760\)种可能的密码。
3. 课程安排问题
问题：学校一天的课程安排为上午有4门课可选，下午有3门课可选，晚上有2门课可选，问一天的课程安排有多少种不同的组合？
解答：完成“课程安排”这件事需要三步。第一步安排上午的课程，有4种方法；第二步安排下午的课程，有3种方法；第三步安排晚上的课程，有2种方法。根据乘法原理，总共有\(4×3×2 = 24\)种不同的课程安排组合。
4. 旅行行程安排问题
问题：一次旅行有3个城市可供选择作为第一站，每个第一站城市又有4个城市可供选择作为第二站，每个第二站城市有2个景点可供选择，问有多少种不同的旅行行程？
解答：完成“安排旅行行程”这件事需要三步。第一步选第一站城市，有3种方法；第二步选第二站城市，对于每一个第一站城市都有4种方法，共\(3×4 = 12\)种方法；第三步选景点，对于每一个第二站城市都有2种方法，总共\(12×2 = 24\)种方法。根据乘法原理，总共有\(3×4×2 = 24\)种不同的旅行行程。
5. 多层书架放书问题
问题：有一个三层书架，第一层有5本不同的书可放，第二层有4本不同的书可放，第三层有3本不同的书可放，问有多少种不同的放书方式？
解答：完成“在三层书架放书”这件事需要三步。第一步在第一层放书，有5种方法；第二步在第二层放书，有4种方法；第三步在第三层放书，有3种方法。根据乘法原理，总共有\(5×4×3 = 60\)种不同的放书方式。
6. 人员分组及分工问题
问题：将10人分成三组，第一组有3人，第二组有3人，第三组有4人，然后第一组去做A工作（有2种方式），第二组去做B工作（有3种方式），第三组去做C工作（有4种方式），问有多少种不同的分组及分工方式？
解答：首先计算分组方式，根据组合数公式\(C(n,k)=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)，将10人分成3人、3人、4人的分组方式有\(\frac{10!}{3!×3!×4!}\)种。然后对于每种分组方式，安排工作有三步，第一组工作安排有2种方法，第二组工作安排有3种方法，第三组工作安排有4种方法。根据乘法原理，总共有\(\frac{10!}{3!×3!×4!}×2×3×4\)种不同的分组及分工方式。
7. 座位选择及活动安排问题
问题：教室里有5排座位，每排有6个座位，老师要选一名同学坐在某一排的某一个座位上，然后安排这个同学参加三种不同的活动（每种活动顺序不同也算不同的安排），问有多少种不同的情况？
解答：完成“座位选择及活动安排”这件事需要三步。第一步选排，有5种方法；第二步选座位，对于每一排有6种方法，共\(5×6 = 30\)种方法；第三步安排活动，对于每个座位上的同学有\(3! = 6\)种活动安排方式。根据乘法原理，总共有\(5×6×6 = 180\)种不同的情况。
8. 电话号码组合问题
问题：一个电话号码是七位数，前三位是区号（假设第一位有3种选择，第二位有4种选择，第三位有2种选择），后四位是号码（每位都有10种选择），问有多少种不同的电话号码？
解答：完成“组成电话号码”这件事需要两步。第一步组成区号，有\(3×4×2 = 24\)种方法；第二步组成号码，有\(10×10×10×10 = 10000\)种方法。根据乘法原理，总共有\(24×10000 = 240000\)种不同的电话号码。
9. 路口转向问题
问题：一个人从A路口出发，要经过三个连续的路口，在每个路口都有向左、向右、向前三种选择，问有多少种不同的走法？
解答：完成“经过三个路口的走法”这件事需要三步。在每个路口都有3种走法，根据乘法原理，总共有\(3×3×3 = 27\)种不同的走法。
10. 礼物包装及装饰问题
问题：有3种包装纸，4种丝带，5种装饰贴纸，用一种包装纸、一种丝带和一种装饰贴纸来包装礼物，问有多少种不同的包装方式？
解答：完成“礼物包装”这件事需要三步。第一步选包装纸，有3种方法；第二步选丝带，有4种方法；第三步选装饰贴纸，有5种方法。根据乘法原理，总共有\(3×4×5 = 60\)种不同的包装方式。
11. 公寓房间分配及设施配置问题
问题：一个公寓有3层，每层有4个房间，每个房间要配置一台电视（有2种品牌可选）、一张床（有3种款式可选）和一套桌椅（有4种类型可选），问有多少种不同的房间配置方式？
解答：完成“房间配置”这件事需要三步。第一步选电视品牌，有2种方法；第二步选床的款式，有3种方法；第三步选桌椅类型，有4种方法。对于房间分配，有\(3×4 = 12\)种方式。根据乘法原理，总共有\(12×2×3×4 = 288\)种不同的房间配置方式。
12. 电影场次及座位选择问题
问题：电影院有3个影厅同时播放电影，每个影厅有5排座位，每排有6个座位，问有多少种不同的观影位置选择？
解答：完成“选择观影位置”这件事需要三步。第一步选影厅，有3种方法；第二步选排，对于每个影厅有5种方法，共\(3×5 = 15\)种方法；第三步选座位，对于每一排有6个座位，总共\(15×6 = 90\)种方法。根据乘法原理，总共有\(3×5×6 = 90\)种不同的观影位置选择。
13. 游戏角色创建问题
问题：创建一个游戏角色，有4种发型可选，3种脸型可选，5种服装风格可选，问有多少种不同的角色形象？
解答：完成“创建游戏角色形象”这件事需要三步。第一步选发型，有4种方法；第二步选脸型，有3种方法；第三步选服装风格，有5种方法。根据乘法原理，总共有\(4×3×5 = 60\)种不同的角色形象。
14. 球队阵容及战术安排问题
问题：一支篮球队有5个位置，每个位置有4名球员可供选择，教练要确定一个首发阵容（每个位置1人），然后安排一种战术（有3种战术可选），问有多少种不同的情况？
解答：完成“确定首发阵容及战术”这件事需要两步。第一步确定首发阵容，根据排列数公式\(P(n,r)=\frac{n!}{(n - r)!}\)，这里\(n = 20\)（\(5\)个位置，每个位置\(4\)人，共\(5×4 = 20\)人），\(r = 5\)，所以首发阵容的选择方式有\(\frac{20!}{(20 - 5)!}\)种。第二步安排战术，有3种方法。根据乘法原理，总共有\(\frac{20!}{(20 - 5)!}×3\)种不同的情况。
15. 考试答题顺序及涂卡方式问题
问题：一份试卷有5道大题，学生可以选择答题顺序（不同顺序算不同情况），每道题有2种涂卡方式（涂对或涂错），问有多少种不同的答题及涂卡情况？
解答：完成“答题及涂卡”这件事需要两步。第一步确定答题顺序，根据排列数公式\(P(5,5)=\frac{5!}{(5 - 5)!}=5!\)，有\(120\)种方法；第二步考虑每道题的涂卡方式，每道题有2种涂卡方式，共\(2×2×2×2×2 = 32\)种方法。根据乘法原理，总共有\(120×32 = 3840\)种不同的答题及涂卡情况。
16. 装修材料选择及施工顺序问题
问题：装修一间房间，地面材料有3种选择，墙面材料有4种选择，天花板材料有2种选择，施工顺序有先地面、再墙面、最后天花板或者先墙面、再地面、最后天花板等6种不同顺序，问有多少种不同的装修情况？
解答：完成“装修房间”这件事需要两步。第一步选择装修材料，地面材料有3种选择，墙面材料有4种选择，天花板材料有2种选择，根据乘法原理，材料选择方式有\(3×4×2 = 24\)种。第二步确定施工顺序，有6种方法。根据乘法原理，总共有\(24×6 = 144\)种不同的装修情况。
17. 抽奖活动问题
问题：一个抽奖活动分三轮，第一轮从10个号码中抽一个，第二轮从8个号码中抽一个，第三轮从6个号码中抽一个，问有多少种不同的抽奖结果？
解答：完成“抽奖”这件事需要三步。第一步第一轮抽奖，有10种方法；第二步第二轮抽奖，有8种方法；第三步第三轮抽奖，有6种方法。根据乘法原理，总共有\(10×8×6 = 480\)种不同的抽奖结果。
18. 运动比赛分组及比赛顺序问题
问题：有12支球队参加比赛，先分成3组，每组4支球队（分组方式不计），每组内进行单循环赛（比赛顺序不同也算不同情况），问有多少种不同的比赛情况？
解答：首先每组内比赛情况，根据排列数公式\(P(n,r)=\frac{n!}{(n - r)!}\)，在每组\(4\)支球队中安排比赛顺序，有\(\frac{4!}{(4 - 4)!}=4!\)种方法，三组共有\((4!)^3\)种方法。根据乘法原理，总共有\((4!)^3 = 13824\)种不同的比赛情况。
19. 音乐播放列表创建问题
问题：创建一个音乐播放列表，有5种音乐风格，每种风格选一首歌曲，播放顺序不同也算不同的播放列表，并且对于每首歌曲可以选择是否开启音效增强（2种选择），问有多少种不同的播放列表？
解答：完成“创建播放列表”这件事需要两步。第一步选歌曲并确定播放顺序，根据排列数公式\(P(5,5)=\frac{5!}{(5 - 5)!}=5!\)，有\(120\)种方法；第二步考虑每首歌曲的音效增强选择，每首歌有2种选择，共\(2×2×2×2×2 = 32\)种方法。根据乘法原理，总共有\(120×32 = 3840\)种不同的播放列表。
20. 工作任务分配及完成顺序问题
问题：有4个工作任务，3个人来做，每个任务可以分配给任意一个人，并且任务完成有先后顺序（不同顺序算不同情况），问有多少种不同的工作分配及完成情况？
解答：完成“工作分配及完成情况”这件事需要两步。第一步分配任务，每个任务有3种分配方法，共\(3×3×3×3 = 81\)种方法；第二步确定完成顺序，根据排列数公式\(P(4,4)=\frac{4!}{(4 - 4)!}=4!\)，有\(24\)种方法。根据乘法原理，总共有\(81×24 = 1944\)种不同的工作分配及完成情况。
