阶乘

定义：对于正整数\(n\)，阶乘表示从\(1\)到\(n\)的所有正整数的乘积，用\(n!\)表示，即

\(n!=n\times(n - 1)\times(n - 2)\times\cdots\times2\times1\)

例如，\(5!=5\times4\times3\times2\times1 = 120\)

规定\(0!=1\)，这是为了在一些数学公式和计算中保持一致性。

1、阶乘基本性质

0和1的阶乘特殊值：0的阶乘规定为1，即0!=1；1的阶乘为1，即1!=1.

偶数性质：

除1和0之外的所有数的阶乘都是偶数，因为阶乘是从1开始连续整数的乘积，其中必然包含2这个因数，所以结果为偶数.

末尾0的个数：

当n≥5时，n!的末尾至少有一个0。因为从5开始，阶乘中会包含5和2的乘积，每有一对5和2就会在末尾产生一个0，而n越大，包含5的因数的个数就越多，末尾0的个数也会相应增加.

能被9整除的性质：

当n≥6时，n!能被9整除，并且n!的各位数字之和也能被9整除。这是因为9的倍数的各位数字之和也是9的倍数，而当n≥6时，阶乘中包含了足够多的3的因数，使得阶乘能被9整除.

2、阶乘运算性质

乘法性质：

对于任意正整数m和n，有\(n! \times (n + 1) \times (n + 2) \cdots (n + m)=\frac{(n + m)!}{n!}\)

例如\(3! \times 4 \times 5=\frac{5!}{2!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{2\times1}=60\) 

除法性质：

若\(m\lt n\)，则\(\frac{n!}{m!}=n\times(n - 1)\times(n - 2)\cdots(m + 1)\)

例如\(\frac{5!}{3!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{3\times2\times1}=5\times4 = 20\) 

排列数与阶乘：

从\(n\)个不同元素中取出\(k\)个元素的排列数\(A_{n}^k=\frac{n!}{(n - k)!}\)，当\(k = n\)时，\(A_{n}^n = n!\)，即全排列的情况.

组合数与阶乘：

组合数\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)，它与阶乘密切相关，通过阶乘的运算可以方便地计算组合数.

排列数

1. 排列数定义

排列数是指从\(n\)个不同元素中取出\(k\)（\(k\leq n\)）个元素进行排列的所有不同排列的个数。

通常用\(A_{n}^k\)（也有用\(P_{n}^k\)表示的）。其计算公式为\(A_{n}^k=\frac{n!}{(n - k)!}\)

例如，从\(5\)个不同的球（分别标记为\(1\)、\(2\)、\(3\)、\(4\)、\(5\)）中取出\(3\)个球进行排列。首先计算\(n = 5\)时的\(5!\)为\(1\times2\times3\times4\times5 = 120\)，\((n - k)=(5 - 3)=2\)，\(2!\)为\(1\times2 = 2\)，则\(A_{5}^3=\frac{5!}{(5 - 3)!}=\frac{120}{2}=60\)，这表示一共有\(60\)种不同的排列方式。

直观地说，排列是考虑元素的顺序的。比如对于取出的三个球，\((1,2,3)\)和\((3,2,1)\)是两种不同的排列，因为元素的顺序不同。

2. 排列数性质

非负性：因为排列数是计算排列的个数，所以\(A_{n}^k\geq0\)。其中\(n\)和\(k\)为自然数，且\(k\leq n\)。

单调性：当\(n\)固定时，随着\(k\)的增大，\(A_{n}^k\)也增大。例如，对于\(n = 5\)，\(A_{5}^1=\frac{5!}{(5 - 1)!}=\frac{5!}{4!}=5\)，\(A_{5}^2=\frac{5!}{(5 - 2)!}=\frac{5!}{3!}=20\)，\(A_{5}^3=\frac{5!}{(5 - 3)!}=\frac{5!}{2!}=60\)，可以看到排列数在逐渐增大。

特殊值：

当\(k = 0\)时，\(A_{n}^0 = 1\)。这可以理解为从\(n\)个元素中取出\(0\)个元素进行排列，只有一种方式，就是什么都不做，所以排列数为\(1\)。

当\(k = n\)时，\(A_{n}^n = n!\)。因为从\(n\)个元素中取出\(n\)个元素进行排列，就是对这\(n\)个元素进行全排列，所以排列数等于\(n\)的阶乘。例如，从\(5\)个元素中取出\(5\)个元素进行排列，排列数\(A_{5}^5 = 5! = 120\)。

3. 排列数应用场景

排队问题：例如，\(n\)个人排队，问前\(k\)个人的不同排队方式，就可以用排列数\(A_{n}^k\)来计算。假设有\(10\)个人排队，计算前\(3\)个人的不同排队方式，\(A_{10}^3=\frac{10!}{(10 - 3)!}=\frac{10\times9\times8\times7!}{7!}=720\)种。

排列组合综合问题：在一些需要同时考虑元素的选取和排列顺序的问题中，会先使用组合数\(C_{n}^k\)选取元素，再使用排列数\(A_{k}^k\)对选取的元素进行排列。例如，从\(8\)个不同的项目中选取\(3\)个项目组成一个套餐，并且这\(3\)个项目有顺序之分（比如作为套餐的不同搭配顺序），那么总的方式数为\(C_{8}^3\times A_{3}^3\)。先计算组合数\(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8 - 3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)，再计算排列数\(A_{3}^3 = 3! = 6\)，所以总的方式数为\(56\times6 = 336\)。

密码设置问题：如果一个密码是由\(n\)个字符中选取\(k\)个字符组成（顺序有关），那么密码的可能数量就是\(A_{n}^k\)。比如密码是由\(6\)个数字（\(0 - 9\)）中选取\(4\)个数字组成，并且数字顺序很重要，那么密码的可能数量为\(A_{10}^4=\frac{10!}{(10 - 4)!}=\frac{10\times9\times8\times7\times6!}{6!}=5040\)。

组合数

1. 组合数定义

组合数表示从\(n\)个不同元素中取出\(k\)（\(k\leq n\)）个元素的组合情况的数量。

记为\(C_{n}^k\)或\(\binom{n}{k}\)，其计算公式为\(C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n - k)!}\)。

例如，从\(5\)个不同的球中选取\(3\)个球的组合数，根据公式计算为\(C_{5}^3=\frac{5!}{3!(5 - 3)!}=\frac{5\times4\times3\times2\times1}{(3\times2\times1)\times(2\times1)} = 10\)，这意味着有\(10\)种不同的组合方式。

2. 组合数性质

对称性：\(C_{n}^k = C_{n}^{n - k}\)。例如，\(C_{5}^3 = C_{5}^{2}\)，因为从\(5\)个元素中选\(3\)个元素的组合数和从\(5\)个元素中选剩下\(2\)个元素的组合数是相同的。计算可得\(C_{5}^2=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}=10\)，与\(C_{5}^3\)相等。

递推性：\(C_{n}^k = C_{n - 1}^k+C_{n - 1}^{k - 1}\)。可以这样理解，对于从\(n\)个元素中选\(k\)个元素的组合，考虑是否包含某个特定元素。如果不包含这个元素，就是从剩下的\(n - 1\)个元素中选\(k\)个元素，即\(C_{n - 1}^k\)；如果包含这个元素，就是从剩下的\(n - 1\)个元素中选\(k - 1\)个元素，即\(C_{n - 1}^{k - 1}\)。例如，计算\(C_{6}^3\)，根据递推公式\(C_{6}^3 = C_{5}^3+C_{5}^{2}\)，\(C_{5}^3 = 10\)，\(C_{5}^{2}=10\)，所以\(C_{6}^3 = 20\)。

边界条件：\(C_{n}^0 = C_{n}^n = 1\)。从\(n\)个元素中一个都不选或者全部都选，都只有\(1\)种方式。

3. 组合数应用场景

概率问题：在古典概率计算中经常用到组合数。例如，在一个抽奖活动中，从\(n\)个号码中抽取\(k\)个号码作为中奖号码，不考虑号码的抽取顺序，那么中奖组合的数量就是\(C_{n}^k\)。假设一共有\(10\)个号码，从中抽取\(3\)个作为中奖号码，那么中奖组合数\(C_{10}^3=\frac{10!}{3!(10 - 3)!}=\frac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120\)。

组合问题：如将\(n\)个不同的物体分成若干组，每组有特定数量的物体，组合数可以用来计算分组的方式数量。例如，将\(8\)个学生分成两组，一组\(3\)人，一组\(5\)人，分组的方式数为\(C_{8}^3=\frac{8!}{3!(8 - 3)!}=\frac{8\times7\times6}{3\times2\times1}=56\)。

二项式定理：\((a + b)^n=\sum_{k = 0}^{n}C_{n}^k a^{k}b^{n - k}\)。组合数在二项式展开中起着关键作用，用于确定各项的系数。例如，\((x + y)^3 = C_{3}^0x^{0}y^{3}+C_{3}^1x^{1}y^{2}+C_{3}^2x^{2}y^{1}+C_{3}^3x^{3}y^{0}=y^{3}+3xy^{2}+3x^{2}y + x^{3}\)。

组合数学 - 一门研究离散对象的科学。