陈小龙数学听算特训
集合区间
\( [24, 27) \)
左闭右开区间24到27 中有哪些整数：
\( \{ 24, 25, 26 \} \)
\( (3, 8] \)
左开右闭区间3到8 中有哪些整数：
\( \{ 4, 5, 6, 7, 8 \} \)
四则运算法则
法则1：同级运算从左往右算
16 加 66 减 44：\( 16 + 66 - 44 = 38 \)
20 除以 10 乘 8：\( 20 ÷ 10 × 8 = 16 \)
法则2：先乘除，后加减。
43 加 64 除以 8：\( 43 + 64 ÷ 8 = 51 \)
87 减 54 除以 6：\( 87 - 54 ÷ 6 = 51 \)
法则3：有括号先算括号里面
7 减 3 的差乘 8：\( (7 - 3) × 8 = 32 \)
64 减 40 的差除以 2：\( (64 - 40) ÷ 2 = 12 \)
法则4：0 + 任何数 = 原数、任何数 - 0 = 原数、0 × 任何数 = 0、0 不能做除数！
五大运算定律
运算定律是用来简便计算、保证计算结果不变的规律，适用于整数、小数、分数。
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。\(a + b = b + a\)
69 加 18 加 31：\( 69 + 18 + 31 = 69 + 31 + 18 = 118 \)
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。\((a + b) + c = a + (b + c)\)
59 加 31 加 69：\( 59 + 31 + 69 = 59 + (31 + 69) = 159 \)
乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。\(a × b = b × a\)
125 乘 14 乘 8：\( 125 × 14 × 8 = 125 × 8 × 14 = 14000 \)
乘法结合律: 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。\((a × b) × c = a × (b × c)\)
94 乘 5 乘 2：\( 94 × 5 × 2 = 94 × (5 × 2) = 940 \)
乘法分配律: 一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。\((a + b) × c = a × c + b × c\)
2 乘 5 加 60 的和：\( 2 × (5 + 60) = 2 × 5 + 2 × 60 = 130 \)
减法的性质
连减性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。\( a−b−c=a−(b+c) \)
141 减 92 再减 8：\( 141 - 92 - 8 = 141 - (92 + 8) = 41 \)
交换减数位置：连减时，交换两个减数的位置，差不变。\( a - b - c = a - c - b \)
144 减 42 再减 44：\( 144 - 42 - 44 = 144 - 44 - 42 = 58 \)
除法的性质
连除性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)\)
32 除以 2 再除以 4：\( 32 ÷ 2 ÷ 4 = 32 ÷ (2 × 4) = 4 \)
交换除数位置：连除时，交换两个除数的位置，商不变。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b\)
75 除以 5 再除以 3：\( 75 ÷ 5 ÷ 3 = 75 ÷ 3 ÷ 5 = 5 \)
去括号 与 加括号
前面是 +、×，括号里不变号。
11 + ( 19 - 15 + 18 ) = 11 + 19 - 15 + 18 = 33
11 + 19 - 15 + 18 = 11 + ( 19 - 15 + 18 ) = 33
1 × ( 40 ÷ 5 × 5 ) = 1 × 40 ÷ 5 × 5 = 40
1 × 40 ÷ 5 × 5 = 1 × ( 40 ÷ 5 × 5 ) = 40
前面是 -、÷，括号里全变号。
29 - ( 22 - 15 + 12 ) = 29 - 22 + 15 - 12 = 10
29 - 22 + 15 - 12 = 29 - ( 22 - 15 + 12 ) = 10
60 ÷ ( 15 ÷ 15 × 5 ) = 60 ÷ 15 × 15 ÷ 5 = 12
60 ÷ 15 × 15 ÷ 5 = 60 ÷ ( 15 ÷ 15 × 5 ) = 12
平均数问题
个数 = 总和 ÷ 平均数：几个数的总和是24，平均数是12，一共有几个数？
\(24 ÷ 12 = 2\)
比较两个数：13 与 16
16 比 13 多多少？ \(16 - 13 = 3\)
13 比 16 少多少？ \(16 - 13 = 3\)
16 与 13 差多少？ \(16 - 13 = 3\)
16 比 13 多几分之几？ \((16 - 13) ÷ 13 = \frac{3}{13} \)
13 比 16 少几分之几？ \((16 - 13) ÷ 16 = \frac{3}{16} \)
归一问题
归一问题：单一量 = 总数 ÷ 份数
（正归一）新总数 = 单一量 × 新份数
（反归一）新份数 = 新总数 ÷ 单一量
正归一：2份是8，10份是多少？
\( 8 ÷ 2 × 10 = 40 \)
反归一：2份是8，36是多少份？
\( 36 ÷ (8 ÷ 2) = 9 \)
变化量问题
12 增加 1 是多少？ \( 12 + 1 = 13 \)
12 减少 1 是多少？ \( 12 - 1 = 11 \)
12 的 1 倍是多少？ \( 12 × 1 = 12 \)
12 翻 4 番是多少？
\( 12 × 2^{4} = 12 × 16 = 192 \)
12 的 1 倍多 8 是多少？
\( 12 × 1 + 8 = 20 \)
12 的 1 倍少 8 是多少？
\( 12 × 1 - 8 = 4 \)
12 的一半是多少？
\( 12 ÷ 2 = 6 \) 或 \( 12 × \frac {1}{2} = 6 \)
12 增加一半是多少？
\( 12 + 12 ÷ 2 = 18 \) 或 \( 12 + 12 × \frac {1}{2} = 18 \)
12 减少一半是多少？
\( 12 - 12 ÷ 2 = 6 \) 或 \( 12 - 12 × \frac {1}{2} = 6 \)
整除
42 平均分成 7 份，每份是多少？
\( 42 ÷ 7 = 6 \)
[讲] 因为余数为 0，我们称：7 整除 42，记作： \( 7 \mid 42 \)，其中：7 是 42 的约数（因数），42 是 7 的倍数。
43 里面有多少个 7
除式：\( 43 ÷ 7 = 6......1 \)
乘式：\( 7 × 6 + 1 = 43 \)
[讲] 因为有余数，我们称：7 不整除 43，记作： \( 7 \nmid 43 \)，其中：7 不是 43 的约数（因数），43 不是 7 的倍数。
301 能不能被 3 整除？
不能，因为 301 的各位数字的和不能被3整除。
同余
两个整数 a、b，除以同一个整数 m，余数相同，就说 a 和 b 对模 m 同余。记作：\(a \equiv b \pmod{m}\)，读作：a 和 b 对模 m 同余
42 ÷ 8 = 5 余 2, 18 ÷ 8 = 2 余 2
记作 \(42 \equiv 18 \pmod{8}\) 或 \(18 \equiv 42 \pmod{8}\)
读作 42 和 18 对模 8 同余
约数 与 倍数
22 的约数（因数）
约数(因数)：{ 1, 2, 11, 22 }
质因数：{ 2, 11 }
14 的倍数（用1,2,3...乘14）
{ 14, 28, 42, 56, 70, ... }
分解质因数
20 分解质因数
\( 20 = 2×2×5 \)
思考过程：
20 ÷ 2 = 10
10 ÷ 2 = 5
5 ÷ 5 = 1
完全平方 与 平方差
1 与 5 的和的平方：\( (1 + 5)^{2} = 36 \)
1的平方 加 5的平方：\( 1^{2} + 5^{2} = 26 \)
数列
数列规律：\( \{ 11, 11, 11, 11, 11 \} \)
公差为 0 的常数等差数列
数轴
数轴中 3 与 7 的距离
\( |7 - 3| = 4 \)
数轴中与 10 的距离为 1 的数
9-左-10-右-11
数轴中 5 与 15 的中点
\( (5 + 15) ÷ 2 = 10 \)