陈小龙数学听算特训

集合区间

\( (−\infty, 42) \) 负无穷到42开区间 中最大的奇数：41

\( (−\infty, 38] \) 负无穷到38闭区间 中最大的偶数：38

补数：末位凑 10，前面凑 9。

补数是指两数之和为10、100、1000等的两个数，互为补数。

四则运算法则

法则1：同级运算从左往右算，例：40 乘 2 除以 10：\( 40 × 2 ÷ 10 = 8 \)

法则2：先乘除，后加减。例：67 减 21 除以 7：\( 67 - 21 ÷ 7 = 64 \)

法则3：有括号先算括号里面。例：5 加 5 的和乘 1：\( (5 + 5) × 1 = 10 \)

法则4：0 + 任何数 = 原数、任何数 - 0 = 原数、0 × 任何数 = 0、0 不能做除数！

五大运算定律

运算定律是用来简便计算、保证计算结果不变的规律，适用于整数、小数、分数。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。\(a + b = b + a\)

62 加 84 加 38：\( 62 + 84 + 38 = 62 + 38 + 84 = 184 \)

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。\((a + b) + c = a + (b + c)\)

63 加 47 加 53：\( 63 + 47 + 53 = 63 + (47 + 53) = 163 \)

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。\(a × b = b × a\)

125 乘 60 乘 8：\( 125 × 60 × 8 = 125 × 8 × 60 = 60000 \)

乘法结合律: 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。\((a × b) × c = a × (b × c)\)

64 乘 25 乘 4：\( 64 × 25 × 4 = 64 × (25 × 4) = 6400 \)

乘法分配律: 一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。\((a + b) × c = a × c + b × c\)

2 乘 5 加 36 的和：\( 2 × (5 + 36) = 2 × 5 + 2 × 36 = 82 \)

减法的性质

连减性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。\( a−b−c=a−(b+c) \)

189 减 95 再减 5：\( 189 - 95 - 5 = 189 - (95 + 5) = 89 \)

交换减数位置：连减时，交换两个减数的位置，差不变。\( a - b - c = a - c - b \)

197 减 46 再减 97：\( 197 - 46 - 97 = 197 - 97 - 46 = 54 \)

除法的性质

连除性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)\)

8 除以 2 再除以 2：\( 8 ÷ 2 ÷ 2 = 8 ÷ (2 × 2) = 2 \)

交换除数位置：连除时，交换两个除数的位置，商不变。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b\)

18 除以 3 再除以 2：\( 18 ÷ 3 ÷ 2 = 18 ÷ 2 ÷ 3 = 3 \)

去括号 与 加括号

前面是 +、×，括号里不变号。例：a + b - c = a + (b - c)

前面是 -、÷，括号里全变号。例：a - b + c = a - (b - c)

平均数问题

平均数 = 总和 ÷ 个数：陈小龙语文 91 分, 数学 96 分, 英语 98 分，三科的平均分是多少？

\((91 + 96 + 98) ÷ 3 = 95\)

比较两个数：18 与 8

8 比 18 少多少？ \(18 - 8 = 10\)

18 是 8 的几倍？ \(18 ÷ 8 = \frac{9}{4} 倍\)

8 是 18 的几分之几？ \(8 ÷ 18 = \frac{4}{9} \)

18 比 8 多几分之几？ \((18 - 8) ÷ 8 = \frac{5}{4} \)

8 比 18 少几分之几？ \((18 - 8) ÷ 18 = \frac{5}{9} \)

和差问题：小数=(和-差)÷2

两个数的和是11，它们的差是9，求这两个数？

小数：(11 - 9) ÷ 2 = 1

大数：(11 + 9) ÷ 2 = 10 或 11 - 1 = 10

和倍问题：小数=和÷(倍+1)

甲、乙的和是8，甲是乙的3倍，求这两个数？

乙：8 ÷ (3 + 1) = 2

甲：2 × 3 = 6 或 8 - 2 = 6

差倍问题：小数=差÷(倍-1)

甲、乙的差是9，甲是乙的4倍，求这两个数？

乙：9 ÷ (4 - 1) = 3

甲：3 × 4 = 12 或 3 + 9 = 12

归一问题

归一问题：单一量 = 总数 ÷ 份数

（正归一）新总数 = 单一量 × 新份数

（反归一）新份数 = 新总数 ÷ 单一量

正归一：2份是6，10份是多少？ \( 6 ÷ 2 × 10 = 30 \)

反归一：2份是6，12是多少份？ \( 12 ÷ (6 ÷ 2) = 4 \)

变化量问题

12 增加 2 是多少？ \( 12 + 2 = 14 \)

12 减少 2 是多少？ \( 12 - 2 = 10 \)

12 的 2 倍是多少？ \( 12 × 2 = 24 \)

12 翻 7 番是多少？ \( 12 × 2^{7} = 12 × 128 = 1536 \)

12 的 2 倍多 2 是多少？ \( 12 × 2 + 2 = 26 \)

12 的 2 倍少 2 是多少？ \( 12 × 2 - 2 = 22 \)

12 的一半是多少？ \( 12 ÷ 2 = 6 \) 或 \( 12 × \frac {1}{2} = 6 \)

12 增加一半是多少？ \( 12 + 12 ÷ 2 = 18 \) 或 \( 12 + 12 × \frac {1}{2} = 18 \)

12 减少一半是多少？ \( 12 - 12 ÷ 2 = 6 \) 或 \( 12 - 12 × \frac {1}{2} = 6 \)

整除

6 平均分成 6 份，每份是多少？ \( 6 ÷ 6 = 1 \)

[讲] 因为余数为 0，我们称：6 整除 6，记作： \( 6 \mid 6 \)，其中：6 是 6 的约数（因数），6 是 6 的倍数。

10 里面有多少个 6

除式：\( 10 ÷ 6 = 1......4 \)

乘式：\( 6 × 1 + 4 = 10 \)

[讲] 因为有余数，我们称：6 不整除 10，记作： \( 6 \nmid 10 \)，其中：6 不是 10 的约数（因数），10 不是 6 的倍数。

298 能不能被 4 整除？

不能，因为 298 的末尾两位 98 能被4整除。

同余

两个整数 a、b，除以同一个整数 m，余数相同，就说 a 和 b 对模 m 同余。记作：\(a \equiv b \pmod{m}\)，读作：a 和 b 对模 m 同余

24 ÷ 8 = 3 余 0, 32 ÷ 8 = 4 余 0

记作 \(24 \equiv 32 \pmod{8}\) 或 \(32 \equiv 24 \pmod{8}\)

读作 24 和 32 对模 8 同余

约数 与 倍数

20 的约数（因数）

约数(因数)：{ 1, 2, 4, 5, 10, 20 }

质因数：{ 2, 5 }

13 的倍数（用1,2,3...乘13）

{ 13, 26, 39, 52, 65, ... }

分解质因数

16 分解质因数

\( 16 = 2×2×2×2 \)
思考过程：
16 ÷ 2 = 8
8 ÷ 2 = 4
4 ÷ 2 = 2
2 ÷ 2 = 1

完全平方 与 平方差

4 与 2 的差的平方：\( (4 - 2)^2=4 \)

4的平方 减 2的平方：\( 4^{2} - 2^{2} = 12 \)

等差数列

等差数列 \( \{ 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, ... \} \)

首项 \(a_1\) = 4, 末项 \(a_n\) = 32, 公差 d = 4

项数 n = (末项-首项)÷公差+1 = (32-4)÷4+1 = 8

第17项 \(a_{17}\) = 首项 + (17 - 1) × 公差 = 4 + (17 - 1) × 4 = 68

前8项的和 \(S_{8}\) = (首项+末项)×项数÷2 = (4+32)×8÷2 = 144

数轴

数轴中 3 与 6 的距离

\( |6 - 3| = 3 \)

数轴中与 6 的距离为 2 的数

4-左-6-右-8

数轴中 2 与 12 的中点

\( (2 + 12) ÷ 2 = 7 \)

在直角坐标系中, 找出点A（0, -1）关于X轴对称的点, 关于Y轴对称的点, 关于原点对称的点：

答案