陈小龙数学听算特训

集合区间

\( (28, +\infty) \) 开区间28到正无穷 中最小的质数：29

\( [7, +\infty) \) 闭区间7到正无穷 中最小的质数：7

补数：末位凑 10，前面凑 9。

补数是指两数之和为10、100、1000等的两个数，互为补数。

四则运算法则

法则1：同级运算从左往右算，例：42 除以 7 乘 9：\( 42 ÷ 7 × 9 = 54 \)

法则2：先乘除，后加减。例：89 减 35 除以 5：\( 89 - 35 ÷ 5 = 82 \)

法则3：有括号先算括号里面。例：75 减 19 的差除以 8：\( (75 - 19) ÷ 8 = 7 \)

法则4：0 + 任何数 = 原数、任何数 - 0 = 原数、0 × 任何数 = 0、0 不能做除数！

五大运算定律

运算定律是用来简便计算、保证计算结果不变的规律，适用于整数、小数、分数。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。\(a + b = b + a\)

51 加 47 加 49：\( 51 + 47 + 49 = 51 + 49 + 47 = 147 \)

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。\((a + b) + c = a + (b + c)\)

63 加 17 加 83：\( 63 + 17 + 83 = 63 + (17 + 83) = 163 \)

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。\(a × b = b × a\)

125 乘 64 乘 8：\( 125 × 64 × 8 = 125 × 8 × 64 = 64000 \)

乘法结合律: 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。\((a × b) × c = a × (b × c)\)

19 乘 125 乘 8：\( 19 × 125 × 8 = 19 × (125 × 8) = 19000 \)

乘法分配律: 一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。\((a + b) × c = a × c + b × c\)

125 加 86 的和乘 8：\( (125 + 86) × 8 = 125 × 8 + 86 × 8 = 1688 \)

减法的性质

连减性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。\( a−b−c=a−(b+c) \)

153 减 98 再减 2：\( 153 - 98 - 2 = 153 - (98 + 2) = 53 \)

交换减数位置：连减时，交换两个减数的位置，差不变。\( a - b - c = a - c - b \)

130 减 53 再减 30：\( 130 - 53 - 30 = 130 - 30 - 53 = 47 \)

除法的性质

连除性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)\)

75 除以 5 再除以 3：\( 75 ÷ 5 ÷ 3 = 75 ÷ (5 × 3) = 5 \)

交换除数位置：连除时，交换两个除数的位置，商不变。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b\)

24 除以 3 再除以 2：\( 24 ÷ 3 ÷ 2 = 24 ÷ 2 ÷ 3 = 4 \)

去括号 与 加括号

前面是 +、×，括号里不变号。例：a + b - c = a + (b - c)

前面是 -、÷，括号里全变号。例：a - b + c = a - (b - c)

平均数问题

个数 = 总和 ÷ 平均数：几个数的总和是85，平均数是17，一共有几个数？

\(85 ÷ 17 = 5\)

比较两个数：34 与 15

34 比 15 多多少？ \(34 - 15 = 19\)

34 是 15 的几倍？ \(34 ÷ 15 = \frac{34}{15} 倍\)

15 是 34 的几分之几？ \(15 ÷ 34 = \frac{15}{34} \)

34 比 15 多几分之几？ \((34 - 15) ÷ 15 = \frac{19}{15} \)

15 比 34 少几分之几？ \((34 - 15) ÷ 34 = \frac{19}{34} \)

和差问题：小数=(和-差)÷2

两个数的和是8，它们的差是0，求这两个数？

小数：(8 - 0) ÷ 2 = 4

大数：(8 + 0) ÷ 2 = 4 或 8 - 4 = 4

差为0，说明它们相等。

和倍问题：小数=和÷(倍+1)

甲、乙的和是30，甲是乙的5倍，求这两个数？

乙：30 ÷ (5 + 1) = 5

甲：5 × 5 = 25 或 30 - 5 = 25

差倍问题：小数=差÷(倍-1)

甲、乙的差是20，甲是乙的5倍，求这两个数？

乙：20 ÷ (5 - 1) = 5

甲：5 × 5 = 25 或 5 + 20 = 25

归一问题

归一问题：单一量 = 总数 ÷ 份数

（正归一）新总数 = 单一量 × 新份数

（反归一）新份数 = 新总数 ÷ 单一量

正归一：2份是6，9份是多少？ \( 6 ÷ 2 × 9 = 27 \)

反归一：2份是6，18是多少份？ \( 18 ÷ (6 ÷ 2) = 6 \)

变化量问题

10 增加 9 是多少？ \( 10 + 9 = 19 \)

10 减少 9 是多少？ \( 10 - 9 = 1 \)

10 的 9 倍是多少？ \( 10 × 9 = 90 \)

10 翻 2 番是多少？ \( 10 × 2^{2} = 10 × 4 = 40 \)

10 的 9 倍多 4 是多少？ \( 10 × 9 + 4 = 94 \)

10 的 9 倍少 4 是多少？ \( 10 × 9 - 4 = 86 \)

10 的一半是多少？ \( 10 ÷ 2 = 5 \) 或 \( 10 × \frac {1}{2} = 5 \)

10 增加一半是多少？ \( 10 + 10 ÷ 2 = 15 \) 或 \( 10 + 10 × \frac {1}{2} = 15 \)

10 减少一半是多少？ \( 10 - 10 ÷ 2 = 5 \) 或 \( 10 - 10 × \frac {1}{2} = 5 \)

整除

45 平均分成 5 份，每份是多少？ \( 45 ÷ 5 = 9 \)

[讲] 因为余数为 0，我们称：5 整除 45，记作： \( 5 \mid 45 \)，其中：5 是 45 的约数（因数），45 是 5 的倍数。

47 里面有多少个 5

除式：\( 47 ÷ 5 = 9......2 \)

乘式：\( 5 × 9 + 2 = 47 \)

[讲] 因为有余数，我们称：5 不整除 47，记作： \( 5 \nmid 47 \)，其中：5 不是 47 的约数（因数），47 不是 5 的倍数。

272 能不能被 2 整除？

能，因为 272 的个位 2 是偶数。

同余

两个整数 a、b，除以同一个整数 m，余数相同，就说 a 和 b 对模 m 同余。记作：\(a \equiv b \pmod{m}\)，读作：a 和 b 对模 m 同余

8 ÷ 2 = 4 余 0, 6 ÷ 2 = 3 余 0

记作 \(8 \equiv 6 \pmod{2}\) 或 \(6 \equiv 8 \pmod{2}\)

读作 8 和 6 对模 2 同余

约数 与 倍数

32 的约数（因数）

约数(因数)：{ 1, 2, 4, 8, 16, 32 }

质因数：{ 2 }

4 的倍数（用1,2,3...乘4）

{ 4, 8, 12, 16, 20, ... }

分解质因数

42 分解质因数

\( 42 = 2×3×7 \)
思考过程：
42 ÷ 2 = 21
21 ÷ 3 = 7
7 ÷ 7 = 1

完全平方 与 平方差

4 与 1 的差的平方：\( (4 - 1)^2=9 \)

4的平方 减 1的平方：\( 4^{2} - 1^{2} = 15 \)

等差数列

等差数列 \( \{ 3, 3, 3, 3, 3, ... \} \)

首项 \(a_1\) = 3, 末项 \(a_n\) = 3, 公差 d = 0

项数 n = (末项-首项)÷公差+1 = (3-3)÷0+1 = 5

第12项 \(a_{12}\) = 首项 + (12 - 1) × 公差 = 3 + (12 - 1) × 0 = 3

前5项的和 \(S_{5}\) = (首项+末项)×项数÷2 = (3+3)×5÷2 = 15

数轴

数轴中 2 与 3 的距离

\( |3 - 2| = 1 \)

数轴中与 8 的距离为 3 的数

5-左-8-右-11

数轴中 2 与 12 的中点

\( (2 + 12) ÷ 2 = 7 \)

在直角坐标系中, 找出点A（-1, 3）关于X轴对称的点, 关于Y轴对称的点, 关于原点对称的点：

答案