陈小龙数学听算特训

集合区间

\( (−\infty, +\infty) \) 负无穷到正无穷 中 你最喜欢哪些数：1, 100, 985

补数：末位凑 10，前面凑 9。

补数是指两数之和为10、100、1000等的两个数，互为补数。

四则运算法则

法则1：同级运算从左往右算，例：77 加 25 减 62：\( 77 + 25 - 62 = 40 \)

法则2：先乘除，后加减。例：95 减 6 乘 10：\( 95 - 6 × 10 = 35 \)

法则3：有括号先算括号里面。例：7 减 2 的差乘 3：\( (7 - 2) × 3 = 15 \)

法则4：0 + 任何数 = 原数、任何数 - 0 = 原数、0 × 任何数 = 0、0 不能做除数！

五大运算定律

运算定律是用来简便计算、保证计算结果不变的规律，适用于整数、小数、分数。

加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。\(a + b = b + a\)

70 加 58 加 30：\( 70 + 58 + 30 = 70 + 30 + 58 = 158 \)

加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。\((a + b) + c = a + (b + c)\)

52 加 88 加 12：\( 52 + 88 + 12 = 52 + (88 + 12) = 152 \)

乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。\(a × b = b × a\)

5 乘 30 乘 2：\( 5 × 30 × 2 = 5 × 2 × 30 = 300 \)

乘法结合律: 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。\((a × b) × c = a × (b × c)\)

14 乘 125 乘 8：\( 14 × 125 × 8 = 14 × (125 × 8) = 14000 \)

乘法分配律: 一个数乘两个数的和，等于这个数分别乘这两个数，再把积相加。\((a + b) × c = a × c + b × c\)

8 乘 125 加 39 的和：\( 8 × (125 + 39) = 8 × 125 + 8 × 39 = 1312 \)

减法的性质

连减性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。\( a−b−c=a−(b+c) \)

169 减 47 再减 53：\( 169 - 47 - 53 = 169 - (47 + 53) = 69 \)

交换减数位置：连减时，交换两个减数的位置，差不变。\( a - b - c = a - c - b \)

136 减 53 再减 36：\( 136 - 53 - 36 = 136 - 36 - 53 = 47 \)

除法的性质

连除性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ (b × c)\)

24 除以 4 再除以 3：\( 24 ÷ 4 ÷ 3 = 24 ÷ (4 × 3) = 2 \)

交换除数位置：连除时，交换两个除数的位置，商不变。\(a ÷ b ÷ c = a ÷ c ÷ b\)

20 除以 2 再除以 5：\( 20 ÷ 2 ÷ 5 = 20 ÷ 5 ÷ 2 = 2 \)

去括号 与 加括号

前面是 +、×，括号里不变号。例：a + b - c = a + (b - c)

前面是 -、÷，括号里全变号。例：a - b + c = a - (b - c)

平均数问题

平均数 = 总和 ÷ 个数：陈小龙语文 90 分, 数学 91 分, 英语 89 分，三科的平均分是多少？

\((90 + 91 + 89) ÷ 3 = 90\)

比较两个数：14 与 4

4 比 14 少多少？ \(14 - 4 = 10\)

14 是 4 的几倍？ \(14 ÷ 4 = \frac{7}{2} 倍\)

4 是 14 的几分之几？ \(4 ÷ 14 = \frac{2}{7} \)

14 比 4 多几分之几？ \((14 - 4) ÷ 4 = \frac{5}{2} \)

4 比 14 少几分之几？ \((14 - 4) ÷ 14 = \frac{5}{7} \)

和差问题：小数=(和-差)÷2

两个数的和是19，它们的差是1，求这两个数？

小数：(19 - 1) ÷ 2 = 9

大数：(19 + 1) ÷ 2 = 10 或 19 - 9 = 10

和倍问题：小数=和÷(倍+1)

甲、乙的和是10，甲是乙的4倍，求这两个数？

乙：10 ÷ (4 + 1) = 2

甲：2 × 4 = 8 或 10 - 2 = 8

差倍问题：小数=差÷(倍-1)

甲、乙的差是8，甲是乙的5倍，求这两个数？

乙：8 ÷ (5 - 1) = 2

甲：2 × 5 = 10 或 2 + 8 = 10

归一问题

归一问题：单一量 = 总数 ÷ 份数

（正归一）新总数 = 单一量 × 新份数

（反归一）新份数 = 新总数 ÷ 单一量

正归一：5份是15，9份是多少？ \( 15 ÷ 5 × 9 = 27 \)

反归一：5份是15，12是多少份？ \( 12 ÷ (15 ÷ 5) = 4 \)

变化量问题

16 增加 5 是多少？ \( 16 + 5 = 21 \)

16 减少 5 是多少？ \( 16 - 5 = 11 \)

16 的 5 倍是多少？ \( 16 × 5 = 80 \)

16 翻 2 番是多少？ \( 16 × 2^{2} = 16 × 4 = 64 \)

16 的 5 倍多 12 是多少？ \( 16 × 5 + 12 = 92 \)

16 的 5 倍少 12 是多少？ \( 16 × 5 - 12 = 68 \)

16 的一半是多少？ \( 16 ÷ 2 = 8 \) 或 \( 16 × \frac {1}{2} = 8 \)

16 增加一半是多少？ \( 16 + 16 ÷ 2 = 24 \) 或 \( 16 + 16 × \frac {1}{2} = 24 \)

16 减少一半是多少？ \( 16 - 16 ÷ 2 = 8 \) 或 \( 16 - 16 × \frac {1}{2} = 8 \)

整除

28 平均分成 4 份，每份是多少？ \( 28 ÷ 4 = 7 \)

[讲] 因为余数为 0，我们称：4 整除 28，记作： \( 4 \mid 28 \)，其中：4 是 28 的约数（因数），28 是 4 的倍数。

30 里面有多少个 4

除式：\( 30 ÷ 4 = 7......2 \)

乘式：\( 4 × 7 + 2 = 30 \)

[讲] 因为有余数，我们称：4 不整除 30，记作： \( 4 \nmid 30 \)，其中：4 不是 30 的约数（因数），30 不是 4 的倍数。

583 能不能被 5 整除？

不能，因为 583 的个位 3 不能被5整除。

同余

两个整数 a、b，除以同一个整数 m，余数相同，就说 a 和 b 对模 m 同余。记作：\(a \equiv b \pmod{m}\)，读作：a 和 b 对模 m 同余

15 ÷ 3 = 5 余 0, 9 ÷ 3 = 3 余 0

记作 \(15 \equiv 9 \pmod{3}\) 或 \(9 \equiv 15 \pmod{3}\)

读作 15 和 9 对模 3 同余

约数 与 倍数

36 的约数（因数）

约数(因数)：{ 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }

质因数：{ 2, 3 }

8 的倍数（用1,2,3...乘8）

{ 8, 16, 24, 32, 40, ... }

分解质因数

12 分解质因数

\( 12 = 2×2×3 \)
思考过程：
12 ÷ 2 = 6
6 ÷ 2 = 3
3 ÷ 3 = 1

完全平方 与 平方差

6 与 10 的和的平方：\( (6 + 10)^{2} = 256 \)

6的平方 加 10的平方：\( 6^{2} + 10^{2} = 136 \)

等差数列

等差数列 \( \{ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ... \} \)

首项 \(a_1\) = 2, 末项 \(a_n\) = 8, 公差 d = 1

项数 n = (末项-首项)÷公差+1 = (8-2)÷1+1 = 7

第14项 \(a_{14}\) = 首项 + (14 - 1) × 公差 = 2 + (14 - 1) × 1 = 15

前7项的和 \(S_{7}\) = (首项+末项)×项数÷2 = (2+8)×7÷2 = 35

数轴

数轴中 10 与 15 的距离

\( |15 - 10| = 5 \)

数轴中与 4 的距离为 2 的数

2-左-4-右-6

数轴中 5 与 15 的中点

\( (5 + 15) ÷ 2 = 10 \)

在直角坐标系中, 找出点A（-2, -3）关于X轴对称的点, 关于Y轴对称的点, 关于原点对称的点：

答案